Kinematika - 1.4.17

Feladat

1. (*1.4.17) Egy gőzgép hajtókereke egyenletes $\setbox0\hbox{$\omega$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ szögsebességgel forog az $\setbox0\hbox{$0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ középpontján átmenő tengely körül. A kerék $\setbox0\hbox{$l$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hosszúságú hajtórúdjának $\setbox0\hbox{$N$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ csuklópontja az $\setbox0\hbox{$0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-tól $\setbox0\hbox{$r$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ távolságban van, $\setbox0\hbox{$M$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ vége pedig a dugattyúkarhoz csatlakozik, amely vízszintesen mozog ide-oda. Mekkora az $\setbox0\hbox{$M$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ pont sebessége abban a pillanatban, amikor $\setbox0\hbox{$ON$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a vízszintessel $\setbox0\hbox{$\varphi$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ szöget zár be? ($\setbox0\hbox{$0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a dugattyú-karral egy egyenesen fekszik.)
   

Megoldás

1. Vegyük kezdőpillanatnak azt, amikor az $\setbox0\hbox{$N$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ csuklópont az $\setbox0\hbox{$OM$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ egyenesre illeszkedik, vagyis amikor $\setbox0\hbox{$\varphi=0.$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ Az $\setbox0\hbox{$M$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ pont elmozdulását a hajtókerék irányába jelöljük $\setbox0\hbox{$x(t)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-vel. Az $\setbox0\hbox{$NOM$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ háromszögre cosinus-tételt alkalmazva

   $\[l^{2}=r^{2}+(r+l-x(t))^{2}-2r(r+l-x(t))\cos(\varphi(t))\]$

   adódik, ahol $\setbox0\hbox{$\varphi(t)=\omega t$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. Az elmozdulást kifejezve az

   $\[x(t)=l+r(1-\cos(\omega t))\pm\sqrt{l^{2}-r^{2}\sin^{2}(\omega t)}\]$

   eredményre jutunk, melyek közül a negatív előjeles megoldás lesz fizikai. Az $\setbox0\hbox{$M$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ pont sebessége

   $\[v(t)=\frac{dx}{dt}=r\omega\sin\varphi\left[1+\frac{r\cos\varphi}{\sqrt{l^{2}-r^{2}\sin^{2}\varphi}}\right]\,.\]$