Kinematika - 1.4.23

Feladat

1. (*1.4.23) Egy aknavetővel a völgyből $\setbox0\hbox{$h$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ magasságú fennsíkra tüzelnek. (1.4.23. ábra). A fennsíktól milyen távolságban kell felállítani az aknavetőt, hogy a lövedék a fennsík szélétől a legmesszebbre repüljön? Mekkora ez a távolság? Milyen szögben kell lőni? A lövedék kezdeti sebessége $\setbox0\hbox{$v_{0}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$.
   

Megoldás

1. A lövedék pályája egy parabolát ír le. Olyan pálya lehet az optimális, amelyik éppen érinti a fennsík peremét. Ez az állítás indirekt módon látható be. Képzeljünk el egy olyan pályát, amely a fennsík pereme felett halad el. Ennél azonban biztosan távolabbra tudunk lőni, ha az aknavetőt közelebb toljuk és ugyanabban a szögben lövünk. Természetesen az olyan pályák, melyek a fennsík pereme alatt haladnának, teljes mértékben érdektelenek.
   
   Tehát olyan pályákat vizsgálunk, amelyek éppen a fennsík peremét érintik. Amikor a lövedék eléri a peremet, akkor a sebességének nagysága a kilövés szögétől és a kilövés helyétől függetlenül $\setbox0\hbox{$v_{1}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ lesz, melyet az alábbi energetikai megfontolásból számolhatunk ki.

   $\[\frac{1}{2}mv_{0}^{2}=mgh+\frac{1}{2}mv_{1}^{2}\qquad\Rightarrow\qquad v_{1}=v_{0}\sqrt{1-\frac{2hg}{v_{0}^{2}}}\]$

   Most vizsgáljuk meg, hogy milyen szögűnek kell lennie a $\setbox0\hbox{$v_{1}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sebességnek ahhoz, hogy a maximális legyen a felszínen megtett út. Ha a vízszintessel bezárt szög $\setbox0\hbox{$\alpha$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, akkor a sebbeség különböző irányú komponenseinek nagysága

   $\[v_{1x}=v_{1}\cos\alpha\qquad\qquad v_{1y}=v_{1}\sin\alpha\,.\]$

   A a felszínen a becsapódásig $\setbox0\hbox{$t_{1}(\alpha)=2v_{1y}/g$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ idő telik el. Ezalatt a lövedék vízszintes irányba

   $\[x_{1}(\alpha)=v_{1x}t_{1}=\frac{2v_{1}^{2}}{g}\sin\alpha\cos\alpha\]$

   utat tesz meg. A kifejezés maximális, ha $\setbox0\hbox{$\alpha=45^{\circ}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és ekkor a megtett út $\setbox0\hbox{$D=x_{1\mathrm{max}}=v_{1}^{2}/g$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. A kérdés tehát az, hogy honnan és milyen szög alatt kell lőni ahhoz, hogy a pálya a fennsík peremét érintse, és ebben a pillanatban a vízszintessel $\setbox0\hbox{$45$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ fokos szöget zár be a sebesség.

   

   Kihasználhatjuk azt a tényt, hogy a mozgás során az $\setbox0\hbox{$x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ irányú sebesség végig változatlan. Amikor a lövedék a fennsík pereménél van, akkor $\setbox0\hbox{$v_{x}=v_{1}\sin 45^\circ=v_{1}/\sqrt{2}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. Ennek azonban meg kell egyeznie a kilövés pillanatában mérhető $\setbox0\hbox{$x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ irányú sebességgel $\setbox0\hbox{$v_{x}=v_{0}\cos\varphi$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. Ezek alapján ki lehet számolni azt a szöget, amely alatt a lövedéket ki kell lőni.

   $\[\frac{v_{1}}{\sqrt{2}}=v_{0}\cos\varphi\]$

   $\[\sqrt{\frac{1}{2}-\frac{hg}{v_{0}^{2}}}=\cos\varphi\qquad\Rightarrow\qquad \varphi=\arccos\sqrt{\frac{1}{2}-\frac{hg}{v_{0}^{2}}}\]$

   
   
   Ahhoz, hogy meghatározzuk a kilövés helyét, ki kell számolnunk, hogy mennyi időbe ($\setbox0\hbox{$\Delta t$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$) telik, amíg a lövedék a kilövés után eléri a fennsík peremét. Ehhez meg kell oldanunk a

   $\[h=v_{0}\sin\varphi\Delta t-\frac{g}{2}\Delta t^{2}\]$

   másodfokú egyenletet. A két megoldás közül az egyik (kisebb) azt az időtartamot adja meg, ami alatt a lövedék eléri a fennsík peremét. A másik (nagyobb) megoldás azt az időpontot határozza meg, amikor a lövedék $\setbox0\hbox{$D$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ távolságban becsapódik. Nekünk most az előbbire van szükségünk, mert ez alapján az aknavető távolsága a fennsík szélétől

   $\[d=\frac{v_{1}}{\sqrt{2}}\Delta t_{1}=\frac{v_{1}}{2g}\left[\sqrt{v_{0}^{2}+2gh}-v_{1}\right]\]$

   
   Összefoglalva az eredményeket:
   Ahhoz, hogy a lövedék a lehető legmesszebb csapódjon be a fennsíkon, az aknavetőt a fennsík szélétől

   $\[d=\frac{\sqrt{v_{0}^{2}-2hg}}{2g}\left[\sqrt{v_{0}^{2}+2gh}-\sqrt{v_{0}^{2}-2hg}\right]\]$

   távolságban kell elhelyezni és a lövedéket

   $\[\varphi=\arccos\sqrt{\frac{1}{2}-\frac{hg}{v_{0}^{2}}}\]$

   szögben kell kilőni. A fennsíkon megtett út ebben az esetben

   $\[D=\frac{v_{0}^{2}}{g}-2h\,.\]$