Integrálás

Feladatok

1. Határozzuk meg az alábbi integrálokat!

   a)

   $\[\int \left(3+4x+5x^{2}\right)dx\]$

   b)

   $\[\int_{-1}^{2}\left(x^{2}-\sin(5x)\right)dx\]$

   c)

   $\[\int_{0}^{\pi}\sin^{2}x\,dx\]$

   d)

   $\[\int_{0}^{\pi}\cos^{2}x\,dx\]$

   e)

   $\[\int\sqrt{3x+2}dx\]$

   f)

   $\[\int\frac{1}{2x}dx\]$

   Megoldás

   
   

2. Határozzuk meg az $\setbox0\hbox{$ f_1 (x) = \cos x $}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és az $\setbox0\hbox{$ f_2 (x) = \sqrt{ 1 - x^2}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ függvények által közrefogott területet a [-1,1] intervallumon!
   Végeredmény

   $\[T=2sin(1) - \frac{\pi}2\]$
   Megoldás
   
   
3. * Határozzuk meg az alábbi integrálokat parciális integrálással!

   a)

   $\[\int x\cos x \,dx\]$

   b)

   $\[I=\int x^{2}e^{2x}dx\]$

   c)

   $\[I=\int e^{x}\sin x\,dx\]$

   Végeredmény

   a)

   $\[x\sin x+\cos x+C\]$

   b)

   $\[e^{2x}\left(\frac{x^{2}}{2}-\frac{x}{2}+\frac{1}{4}\right)+C\]$

   c)

   $\[\frac{e^{x}}{2}\left(\sin x-\cos x\right)+C\]$

   Megoldás

   
   

4. * Határozzuk meg az alábbi integrálokat lehetőség szerint többféle módszerrel!

   a)

   $\[\int e^{x}\mbox{sh} x\,dx\]$

   b)

   $\[\int\frac{1}{x^{2}+3}dx\]$

   c)

   $\[\int_{0}^{\pi}\sin^{3}x\,dx\]$

   d)

   $\[\int\frac{\ln (2x)}{x}dx\]$

   Végeredmény

   a)

   $\[\frac{e^{2x}}{4}-\frac{x}{2}+C\]$

   b)

   $\[\frac{1}{\sqrt{3}}\mbox{arctg}\left(\frac{x}{\sqrt{3}}\right)+C\]$

   c)

   $\[\frac43\]$

   d) pl.

   $\[\frac{(\ln 2x)^2}2 +c\]$

   Megoldás

   
   

5. Egy $\setbox0\hbox{$d$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hosszúságú rúd az $\setbox0\hbox{$x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tengelyen fekszik, lineáris sűrűsége $\setbox0\hbox{$\lambda(x)=\lambda_{0}+\lambda_{1}x^{2}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, és az origóban van a kisebb sűrűségű vége. ($\setbox0\hbox{$\lambda_1>0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$) Hol van a rúd tömegközéppontja?
   Útmutatás

   Számítsuk ki a rúd össztömegét a megadott paraméterekkel, majd utána a tömegközéppont helyét
   Végeredmény

   $\[x_{\rm{TKP}}=\frac{\frac{\lambda_{0}d}{2}+\frac{\lambda_{1}d^{3}}{4}}{\lambda_{0}+\frac{\lambda_{1}d^{2}}{3}}\]$
   Megoldás
   
   
6. *

   a) Az alábbi határozott integrál a változó felső $\setbox0\hbox{$v$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ határ miatt annak függvénye:

   $\[I(v)=\int_{0}^{v}\frac{1}{1-\alpha v'}dv'=t\]$

   és egyenlő a $\setbox0\hbox{$t$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ időváltozóval. Határozzuk meg a $\setbox0\hbox{$v(t)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ függvényt!

   b) Az alábbi határozott integrál a változó felső $\setbox0\hbox{$\omega$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ határ miatt annak függvénye:

   $\[\alpha t= \int \limits _{\omega _0} ^\omega \frac{1}{\omega '^2} d\omega ' = I(\omega)\]$

   Határozzuk meg az $\setbox0\hbox{$\omega(t)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ függvényt!

   c) Az alábbi határozott integrál a változó $\setbox0\hbox{$h$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ határ miatt annak függvénye:

   $\[I (h) = \int \limits _{h_0} ^h \frac {1}{\sqrt{h '}} dh' = -c t \]$

   Határozzuk meg a $\setbox0\hbox{$h(t)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ függvényt!

   Végeredmény

   a)

   $\[v(t)=\frac{1}{\alpha}\left(1-e^{-\alpha t}\right)\]$

   b)

   $\[\omega (t) = \frac{ \omega _0}{1 - \omega _0 \alpha t}\]$

   c)

   $\[h(t) = h_0 + \frac {c^2 t^2 }{4} - c \sqrt { h_0 } \cdot t\]$

   Megoldás

   
   

7. Egy parabola-antenna a nagy viharban leesett a háztetőről, és úgy ért a földre, hogy szimmetriatengelye éppen függőleges. A nagy esőben a tányér megtelt vízzel. Tudjuk, hogy a tányér mélysége középen $\setbox0\hbox{$h = 0.1 \, m \, ,$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a tányér sugara pedig $\setbox0\hbox{$R = 0.5 \, m \, .$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$

   a) Határozzuk meg, hogy mekkora térfogatú víz gyűlt össze a tányérban?

   b) Mekkora a tányér (belső) felülete?

   Végeredmény

   a)

   $\[V = \frac{R^2 h \pi}{2} = 0.0393 m^3 = 39.3 l \]$

   b)

   $\[ S = \frac{4 \pi R}{3 \sqrt{h}} \left[ \left( h + \frac{R^2}{4 h} \right)^{3/2} - \left( \frac{R^2}{4 h} \right)^{3/2} \right] = 0.816 m^2 \]$

   Megoldás