Integrálás - Parciális integrálás

Feladat

1. Határozzuk meg az alábbi integrálokat parciális integrálással!

a)

$\[\int x\cos x \,dx\]$

b)

$\[I=\int x^{2}e^{2x}dx\]$

c)

$\[I=\int e^{x}\sin x\,dx\]$

Megoldás

a)

$\[\int x\cos x \,dx=x\sin x -\int 1\cdot\sin x\,dx=x\sin x+\cos x+C\]$

b)

$\[I=\int x^{2}e^{2x}dx=\frac{e^{2x}}{2}x^{2}-\int \frac{e^{2x}}{2}2x\,dx\]$

$\[I_2=\int xe^{2x}dx=\frac{e^{2x}}{2}x-\int \frac{e^{2x}}{2}\cdot 1\,dx=\frac{xe^{2x}}{2}-\frac{e^{2x}}{4}+C\]$

$\[I=e^{2x}\left(\frac{x^{2}}{4}-\frac{x}{2}+\frac{1}{4}\right)+C\]$

c)

$\[I=\int e^{x}\sin x\,dx=e^{x}\sin x-\int e^{x}\cos x \,dx\]$

$\[I_{2}=\int e^{x}\cos x\,dx=e^{x}\cos x-\int e^{x}(-\sin x)dx=e^{x}\cos x+\int e^{x}\sin x\,dx\]$

$\[I=e^{x}\left(\sin x-\cos x\right)-I\]$

$\[2I=e^{x}\left(\sin x-\cos x\right)\]$

$\[I=\frac{e^{x}}{2}\left(\sin x-\cos x\right)+C\]$