Integrálás - Vegyes integrálok

Feladat

1. Határozzuk meg az alábbi integrálokat lehetőség szerint többféle módszerrel!

a)

$\[\int e^{x}\mbox{sh} x\,dx\]$

b)

$\[\int\frac{1}{x^{2}+3}dx\]$

Megoldás

a)

$\[\int e^{x}\mbox{sh} x\,dx=\frac{e^{2x}}{4}-\frac{x}{2}+C\]$

b)

$\[\int\frac{1}{x^{2}+3}dx\]$

Mivel $\setbox0\hbox{$\left(\mbox{arctg} x\right)'=\frac{1}{x^{2}+1}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, hasonló megoldást várunk. Az egyetlen eltérés ehhez képest a nevezőben a 3-as.Átalakítva az integrált

$\[\frac{1}{3}\int\frac{1}{\frac{x^{2}}{3}+1}dx\]$

bevezethetjük az $\setbox0\hbox{$\frac{x^{2}}{3}=\left(\frac{x}{\sqrt{3}}\right)^{2}=y^{2}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ azaz $\setbox0\hbox{$x=\sqrt{3}y$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ helyettesítést. Ebből a transzformációs képletből:

$\[\frac{dx}{dy}=\sqrt{3},\]$

így az átírt integrál

$\[\frac{1}{3}\int\frac{1}{y^{2}+1}\sqrt{3}dx=\frac{1}{\sqrt{3}}\mbox{arctg}\,y+C\]$

visszahelyettesítés után végül:

$\[\frac{1}{\sqrt{3}}\mbox{arctg}\left(\frac{x}{\sqrt{3}}\right)+C\]$