Kinematika - Változó mozgás

Feladat

1. ÁBRA Egy test a vizsgált időtartam első felében harmonikus rezgést végez, a második felében egyenletesen mozog. Mozgásának sebesség-idő grafikonja az alábbi ábrán látható.

   a) Írd fel a sebességet az idő függvényében mindkét tartományon!

   b) Határozd meg a gyorsulás-idő függvényt képlettel!

   c) Határozd meg az $\setbox0\hbox{$x(t)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ függvényt, ha a test a $\setbox0\hbox{$t=0\mathrm{s}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ időpillanatban az origóban volt!

Megoldás

1. a) Az ábráról leolvasható a $\setbox0\hbox{$v(t)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ függvény.

   $\[v(t)=\left\{\begin{array}{ccc} v_{0}+v_{1}\cos(\omega t) & \mbox{ha} & 0<t<4\,\mathrm{s} \\ v_{0}+v_{1} & \mbox{ha} & 4\,\mathrm{s}<t\end{array}\right.\qquad\qquad v_{0}=3\,\mathrm{\frac{m}{s}}\qquad v_{1}=2\,\mathrm{\frac{m}{s}}\qquad \omega=\frac{\pi}{2}\frac{1}{\,\mathrm{s}}\]$

   b)

   $\[a(t)=\frac{dv}{dt}=\left\{\begin{array}{ccc} -v_{1}\omega\sin(\omega t) & \mbox{ha} & 0<t<4\,\mathrm{s} \\ 0 & \mbox{ha} & 4\,\mathrm{s}<t\end{array}\right.\]$

   c)

   $\[x(t)=x(0)+\int_{0}^{t}v(t')dt'=\left\{\begin{array}{ccc} v_{0}+\frac{v_{1}}{\omega}\sin(\omega t) & \mbox{ha} & 0<t<4\,\mathrm{s} \\ (v_{0}+v_{1})t-v_{1}T & \mbox{ha} & 4\,\mathrm{s}<t\end{array}\right.\,\]$

   ahol $\setbox0\hbox{$T=2\pi/\omega=4\,\mathrm{s}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a periódusidő.