Erőtan I. - 2.1.35

Feladat

1. ÁBRA Vízszintes sík fölött $\setbox0\hbox{$h_{1}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ magasságban $\setbox0\hbox{$\alpha$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hajlásszögű, $\setbox0\hbox{$h_{2}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ magasságú lejtőt helyezünk el. Ennek tetejéről test csúszik le, mely a vízszintesen mérve a lejtő csúcsától $\setbox0\hbox{$s$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ távolságban csapódik le. (2.1.35.ábra) Mennyi a lejtő és a test között a súrlódási együttható? ($\setbox0\hbox{$\alpha=45^\circ$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, $\setbox0\hbox{$h_{1}=24\,\mathrm{m}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, $\setbox0\hbox{$h_{2}=10\,\mathrm{m}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, $\setbox0\hbox{$s=12\,\mathrm{m}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$.)

Megoldás

1. A lejtőn a test gyorsulása

   $\[a=g(\sin\alpha-\mu\cos\alpha)\,.\]$

   A lejtő alján a sebessége

   $\[v=\sqrt{2a\frac{h_{2}}{\sin\alpha}}=\sqrt{2gh_{2}(1-\mu\,\mbox{ctg}\,\alpha)}\,,\]$

   mert a lejtőn megteendő út éppen $\setbox0\hbox{$h_{2}/\sin\alpha$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. A test a lejtőt elhagyva ferde hajításnak megfelelő mozgást végez. A sebesség $\setbox0\hbox{$x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ komponense végig $\setbox0\hbox{$v_{x}=v\cos\alpha$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, tehát az esés ideje

   $\[T=\frac{s}{v_{x}}=\frac{s}{v\cos\alpha}\,.\]$

   Ennyi idő alatt esett le a test a földig, vagyis

   $\[h_{1}=Tv\sin\alpha+\frac{g}{2}T^{2}=s\,\mbox{tg}\,\alpha+\frac{gs^{2}}{2v^{2}\cos^{2}\alpha}\,.\]$

   Behelyettesítve a sebességre kapott formulával az

   $\[h_{1}-s\,\mbox{tg}\,\alpha=\frac{s^{2}}{4h_{2}(1-\mu\,\mbox{ctg}\,\alpha)\cos^{2}\alpha}\]$

   egyenletre jutunk, amelyben minden adat ismert a súrlódási tényezőt kivéve. Azt kifejezve

   $\[\mu=\,\mbox{tg}\,\left[1-\frac{s^{2}}{4h_{2}(h_{1}-s\,\mbox{tg}\,\alpha)\cos^{2}\alpha}\right]=0,4\,.\]$