Integrálás - Területszámítás

Feladat

1. Határozzuk meg az $\setbox0\hbox{$ f_1 (x) = \cos x $}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és az $\setbox0\hbox{$ f_2 (x) = \sqrt{ 1 - x^2}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ függvények által közrefogott területet a [-1,1] intervallumon!

Megoldás

A keresett területet a

$\[T =\left| \int\limits _{-1} ^1 (f_1 (x) - f_2 (x)) dx \right| \]$

képlettel határozhatjuk meg. Mivel a függvények párosak, elegendő a [0,1] intervallumon vett területet nézni, illetve külön vizsgálhatjuk a két függvény alatti területeket, így $\setbox0\hbox{$T=T_1-T_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. Másrészt az $\setbox0\hbox{$f_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ görbe egy egység sugarú félkör, tehát $\setbox0\hbox{$T_2=\pi/2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-t kell kapjunk. Az 1. függvény primitívfüggvénye $\setbox0\hbox{$F_1(x)=\sin x+c$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, így $\setbox0\hbox{$T_1=\sin(1)-\sin(-1)=2\sin(1)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. $\setbox0\hbox{$F_2(x)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ meghatározásához végezzük el az $\setbox0\hbox{$x=\cos y$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ helyettesítést:

$\[f_2 (y) = \sqrt{1- \cos^2 y} = |\sin y |,\]$

de ha a párosság miatt csak a $\setbox0\hbox{$0\le x \le 1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ intervallumon integrálunk, akkor $\setbox0\hbox{$f_2 (y)=\sin y$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, továbbá

$\[\frac {dx}{dy} = -\sin y,\]$

$\[dx= -\sin y dy ,\]$

az új határok $\setbox0\hbox{$x = 0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-nál $\setbox0\hbox{$y =\frac { \pi}{2}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$x = 1 $}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-nél $\setbox0\hbox{$y = 0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, ezzel

$\[\int\limits_ { x = 0} ^{ x = 1 } f_2 (x) dx = -\int\limits_ {y = \frac{ \pi}{2} } ^{ y = 0} \sin^2 y dy = \int\limits_ { \frac{ \pi}{2}} ^0 \left(\frac{\cos 2 y - 1}{2} \right) dy = \left[ \frac{\sin2y}{4} - \frac{y}{2} \right] _{ \frac{ \pi}{2}} ^0=0 + \frac { \pi }{4},\]$

ami a teljes intervallumon valóban $\setbox0\hbox{$\pi/2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. Végül a keresett terület

$\[T=2sin(1)-\frac{\pi}{2}\]$