Integrálás - Vegyes integrálok

Feladat

1. * Határozzuk meg az alábbi integrálokat lehetőség szerint többféle módszerrel!

   a)

   $\[\int e^{x}\mbox{sh} x\,dx\]$

   b)

   $\[\int\frac{1}{x^{2}+3}dx\]$

   c)

   $\[\int_{0}^{\pi}\sin^{3}x\,dx\]$

   d)

   $\[\int\frac{\ln (2x)}{x}dx\]$

Megoldás

1. a)

   $\[\int e^{x}\mbox{sh} x\,dx=\frac{e^{2x}}{4}-\frac{x}{2}+C\]$

   b)

   $\[\int\frac{1}{x^{2}+3}dx\]$

   Mivel $\setbox0\hbox{$\left(\mbox{arctg} x\right)'=\frac{1}{x^{2}+1}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, hasonló megoldást várunk. Az egyetlen eltérés ehhez képest a nevezőben a 3-as.Átalakítva az integrált

   $\[\frac{1}{3}\int\frac{1}{\frac{x^{2}}{3}+1}dx\]$

   bevezethetjük az $\setbox0\hbox{$\frac{x^{2}}{3}=\left(\frac{x}{\sqrt{3}}\right)^{2}=y^{2}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ azaz $\setbox0\hbox{$x=\sqrt{3}y$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ helyettesítést. Ebből a transzformációs képletből:

   $\[\frac{dx}{dy}=\sqrt{3},\]$

   így az átírt integrál

   $\[\frac{1}{3}\int\frac{1}{y^{2}+1}\sqrt{3}dx=\frac{1}{\sqrt{3}}\mbox{arctg}\,y+C\]$

   visszahelyettesítés után végül:

   $\[\frac{1}{\sqrt{3}}\mbox{arctg}\left(\frac{x}{\sqrt{3}}\right)+C\]$

   c)

   $\[\int_{0}^{\pi}\sin^{3}x\,dx=\int_{0}^{\pi}\sin^{2}x\sin x\,dx=\int_{0}^{\pi}\left(1-\cos^{2} x\right)\sin x\,dx=\int_{0}^{\pi}\sin x\,dx-\int_{0}^{\pi}\cos^{2}x\sin x\,dx=\]$

   $\[\left[-\cos x\right]^{\pi}_{0}+\left[\frac{\cos^{3} x}{3}\right]^{\pi}_{0}=\frac{4}{3}\]$

   d) Belső függvény deriválttal:

   $\[\frac {d }{dx} \left( \ln 2x \right) ^2 = 2 \ln 2x \cdot \frac{1}{2x} \cdot 2 = \frac {\ln 2x}{x} \cdot 2c,\]$

   tehát a keresett integrál

   $\[\frac{(\ln 2x)^2}2 +c.\]$

   Helyettesítéssel: $\setbox0\hbox{$\ln 2x = y $}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, $\setbox0\hbox{$2x = e^y $}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, $\setbox0\hbox{$ x = \frac { e ^y}{2} $}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, ebből

   $\[\frac {dx}{dy} = \frac { e^y}{2}\]$

   végül

   $\[\int \frac{ \ln 2x}{x} dx = \int \frac {2y}{e^y} dx (y) = \int \frac {2y}{e ^y} \frac { e ^y}{2} dy = \int y dy = \frac {y^2 }{2} +c = \frac {(\ln 2x) ^2}{2} +c\]$

   Parciális integrálással kétféleképpen is belefoghatunk: ha $\setbox0\hbox{$f'= \ln 2x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$g =\frac {1}{x}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, akkor $\setbox0\hbox{$f= x \ln 2x -x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$g' = - \frac {1 }{x^2}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, továbbá

   $\[I = \frac { \left( x ln2x -x \right)}{x}+ \int \frac{(x ln2x-x)}{x^2} = ln2x -1 + \int \frac{ln2x}{x} - \int \frac{1}{x},\]$

   amelyben újra megjelent a keresett I integrál. Tovább egyszerűsítve:

   $\[I = ln2x -1 -ln x +I\]$

   azaz I-vel egyszerűsítve

   $\[0 = ln2x -1 -lnx = ln2 + lnx -1 - lnx = ln2 -1 \neq 0.\]$

   Ez látszólag ellentmondás, de csak azért, mert az előbbi sorokban lehagytuk az additív konstanst. Azt is figyelembe véve ez a parciális integrálás nem ellentmondás, csak eredménytelen. Fordított szereposztással azonban eredményre vezet. Ha $\setbox0\hbox{$f' = \frac {1}{x}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$g = ln2x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, akkor $\setbox0\hbox{$f =lnx$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$g'= \frac {1}{x}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, ezzel az integrál

   $\[I = \ln x \cdot \ln 2x - \int \frac {\ln x }{x} dx = \ln x \cdot \ln 2x - I_2,\]$

   azaz megjelenik egy az eredetihez hasonló típusú integrál. Lényeges eltérés az előző próbálkozáshoz képest, hogy $\setbox0\hbox{$I_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ előjele negatív, és a megoldást továbbvezetve rekurzióhoz juthatunk. $\setbox0\hbox{$\ln 2x=\ln x+\ln 2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ felbontás alapján továbbá

   $\[I=\int \frac {\ln x}{x} + \int \frac {\ln 2}{x}=\int \frac {\ln x}{x} + \ln 2 \cdot \ln x=I_2+ \ln 2 \cdot \ln x\]$

   Tehát

   $\[I=\ln x \cdot \ln 2x - I_2 = I_2 + \ln2 \cdot \ln x\]$

   $\[2I_2 = \ln x \cdot \ln2x - \ln2 \cdot \ln x\]$

   $\[I_2 =\frac { \ln x \cdot \ln2x}{2} - \frac {\ln2 \ln x }{2}.\]$

   Ezt behelyettesítve kapjuk:

   $\[I= \frac {\ln x ~\ln 2x}{2}+ \frac {\ln 2 ~ \ln x }{2} = \frac { ( \ln x ) ^2}{2} + \frac { \ln x ~\ln 2 }{2} + \frac {\ln 2 ~\ln x}{2} = \frac {( \ln x ) ^2}{2} + \ln 2 ~ \ln x +c\]$

   a konstans erejéig azonos az előző megoldásokkal.