„Deriválás - Hiperbolikus függvények” változatai közötti eltérés

A Fizipedia wikiből
(Új oldal, tartalma: „<noinclude> Kategória:Kísérleti fizika gyakorlat 1. Kategória:Szerkesztő: Bácsi Ádám {{Kísérleti fizika gyakorlat | tárgynév = Kísérleti fizika gy…”)

A lap 2013. április 8., 22:53-kori változata

Navigáció Pt·1·2·3
Kísérleti fizika gyakorlat 1.
Gyakorlatok listája:
  1. Deriválás
  2. Integrálás
  3. Mozgástan
  4. Erőtan I.
  5. Erőtan II.
  6. Munka, energia
  7. Pontrendszerek
  8. Merev testek I.
  9. Merev testek II.
  10. Rugalmasság, folyadékok
  11. Rezgések I.
  12. Rezgések II.
  13. Hullámok
Integrálás
Feladatok listája:
  1. Alapvető integrálok
  2. Területszámítás
  3. Parciális integrálás
  4. Vegyes integrálok
  5. Tömegközéppont számítás
  6. Időfüggvények
  7. Forgástest
© 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064

Feladat

  1. A hiperbolikus függvényeket a következ\H oképpen definiáljuk.
    \[\mbox{ch}\,x=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}\qquad\qquad \mbox{sh}\,x= \frac{e^{x}-e^{-x}}{2}\qquad\qquad \mbox{th}\,x=\frac{\mbox{sh}\, x}{\mbox{ch}\, x}\qquad\qquad \mbox{cth}\,x=\frac{\mbox{ch}\,x}{\mbox{sh}\,x}\]
    a) Igazoljuk, hogy \setbox0\hbox{$\mbox{ch}^{2}\,x-\mbox{sh}^{2}\,x=1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%!
    b) Számoljuk ki a hiperbolikus függvények deriváltjait!
    c) Határozzuk meg a \setbox0\hbox{$\mbox{ch}\, x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% függvény inverzét és annak deriváltját.

Megoldás

  1. a) A hiperbolikus függvények definícióját behelyettesítve az állítás könnyedén igazolható.
    b)
    \[\frac{d}{dx}\mbox{ch}\,x=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}=\mbox{sh}\,x\qquad\qquad \frac{d}{dx}\mbox{sh}\,x=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}=\mbox{ch}\,x\]
    \[\frac{d}{dx}\mbox{th}\,x=\frac{1}{\mbox{ch}^{2}\,x}\qquad\qquad \frac{d}{dx}\mbox{cth}\,x=-\frac{1}{\mbox{sh}^{2}\,x}\]
    c) A \setbox0\hbox{$\mbox{ch}\, x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% függvény inverzét \setbox0\hbox{$\mbox{arcch}\, x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-val jelöljük.
    \[\mbox{arcch}\,x=y(x)\]
    \[x=\mbox{ch}\, y\]
    \[x=\frac{e^{y}+e^{-y}}{2}\]
    \[e^{2y}-2xe^{y}+1=0\]
    \[e^{y}=x\pm \sqrt{x^{2}-1}\]
    A két megoldás közül az egyik \setbox0\hbox{$y$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-nak, a másik pedig \setbox0\hbox{$-y$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-nak felel meg. Konvencionálisan a \setbox0\hbox{$+$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% el\H ojelet tekintjük az \setbox0\hbox{$\mbox{arcch}\,x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% függvényben.
    \[e^{y}=x+ \sqrt{x^{2}-1}\]
    \[y=\ln\left(x+ \sqrt{x^{2}-1}\right)\]
    \[\mbox{arcch}\,x=\ln\left(x+ \sqrt{x^{2}-1}\right)\]
    A deriváltja
    \[\frac{d}{dx}\mbox{arcch}\,x=\frac{1}{\mbox{sh}(\mbox{arcsin}\,x)}=\frac{1}{\sqrt{x^{2}-1}}\,.\]
A lap eredeti címe: „https://fizipedia.bme.hu/index.php?title=Deriválás_-_Hiperbolikus_függvények&oldid=8500”