„Integrálás - Alapvető integrálok” változatai közötti eltérés

A Fizipedia wikiből
(Új oldal, tartalma: „<noinclude> Kategória:Kísérleti fizika gyakorlat 1. Kategória:Szerkesztő:Gombkötő {{Kísérleti fizika gyakorlat | tárgynév = Kísérleti fizika gyakor…”)

A lap 2013. március 28., 14:51-kori változata

Navigáció Pt·1·2·3
Kísérleti fizika gyakorlat 1.
Gyakorlatok listája:
  1. Deriválás
  2. Integrálás
  3. Mozgástan
  4. Erőtan I.
  5. Erőtan II.
  6. Munka, energia
  7. Pontrendszerek
  8. Merev testek I.
  9. Merev testek II.
  10. Rugalmasság, folyadékok
  11. Rezgések I.
  12. Rezgések II.
  13. Hullámok
Integrálás
Feladatok listája:
  1. Alapvető integrálok
  2. Területszámítás
  3. Parciális integrálás
  4. Vegyes integrálok
  5. Tömegközéppont számítás
  6. Időfüggvények
  7. Forgástest
© 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064

Feladat

  1. Határozzuk meg az alábbi integrálokat!
a)
\[\int \left(3+4x+5x^{2}\right)dx\]
b)
\[\int_{-1}^{2}\left(x^{2}-\sin(5x)\right)dx\]
c)
\[\int_{0}^{\pi}\sin^{2}x\,dx\]
d)
\[\int_{0}^{\pi}\cos^{2}x\,dx\]
e)
\[\int\sqrt{3x+2}dx\]
f)
\[\int\frac{1}{2x}dx\]

Megoldás

a)
\[\int \left(3+4x+5x^{2}\right)dx=3x+2x^{2}+\frac{5}{3}x^{3}+C\]
b)
\[\int_{-1}^{2}\left(x^{2}-\sin(5x)\right)dx=\left[\frac{x^{3}}{3}+\frac{\cos(5x)}{5}\right]^{2}_{-1}=\frac{8}{3}+\frac{\cos 10}{5}-\left(-\frac{1}{3}+\frac{\cos 5}{5}\right)\approx 2.78\]
c)
\[\int_{0}^{\pi}\sin^{2}x\,dx=\int_{0}^{\pi}\left(\frac{1}{2}-\frac{\cos(2x)}{2}\right)dx=\left[\frac{x}{2}\right]^{\pi}_{0}-\left[\frac{\sin(2x)}{4}\right]^{\pi}_{0}=\frac{\pi}{2}\]
d)
\[\int_{0}^{\pi}\cos^{2}x\,dx=\int_{0}^{\pi}\left(\frac{1}{2}+\frac{\cos(2x)}{2}\right)dx=\frac{\pi}{2}\]
e)
\[\int\sqrt{3x+2}dx=\int \left(3x+2\right)^{\frac{1}{2}}dx=2(3x+2)^{\frac{3}{2}}+C\]
f)
\[\int\frac{1}{2x}dx=\frac{\ln (2x)}{2}+C\]

vagy

\[\int\frac{1}{2x}dx=\frac{1}{2}\int\frac{1}{x}dx=\frac{1}{2}\ln x+C'\]
\[C'=C+\frac{\ln 2}{2}\]
A lap eredeti címe: „https://fizipedia.bme.hu/index.php?title=Integrálás_-_Alapvető_integrálok&oldid=8106”