„Integrálás - Parciális integrálás” változatai közötti eltérés
A Fizipedia wikiből
| (egy szerkesztő egy közbeeső változata nincs mutatva) | |||
| 7. sor: | 7. sor: | ||
}} | }} | ||
== Feladat == | == Feladat == | ||
| − | </noinclude><wlatex># Határozzuk meg az alábbi integrálokat parciális integrálással! | + | </noinclude><wlatex># * Határozzuk meg az alábbi integrálokat parciális integrálással! |
#: a) $$\int x\cos x \,dx$$ | #: a) $$\int x\cos x \,dx$$ | ||
#: b) $$I=\int x^{2}e^{2x}dx$$ | #: b) $$I=\int x^{2}e^{2x}dx$$ | ||
| − | #: c) $$I=\int e^{x}\sin x\,dx$$</wlatex><includeonly><wlatex>{{Végeredmény|content=a) $$x\sin x+\cos x+C$$ b) $$e^{2x}\left(\frac{x^{2}}{ | + | #: c) $$I=\int e^{x}\sin x\,dx$$</wlatex><includeonly><wlatex>{{Végeredmény|content=a) $$x\sin x+\cos x+C$$ b) $$e^{2x}\left(\frac{x^{2}}{2}-\frac{x}{2}+\frac{1}{4}\right)+C$$ c) $$\frac{e^{x}}{2}\left(\sin x-\cos x\right)+C$$ }}</wlatex></includeonly><noinclude> |
== Megoldás == | == Megoldás == | ||
<wlatex>#: a)$$\int x\cos x \,dx=x\sin x -\int 1\cdot\sin x\,dx=x\sin x+\cos x+C$$ | <wlatex>#: a)$$\int x\cos x \,dx=x\sin x -\int 1\cdot\sin x\,dx=x\sin x+\cos x+C$$ | ||
| − | #: b) $$I=\int x^{2}e^{2x}dx=\frac{e^{2x}}{2}x^{2}-\int \frac{e^{2x}}{2}2x\,dx$$ $$I_2=\int xe^{2x}dx=\frac{e^{2x}}{2}x-\int \frac{e^{2x}}{2}\cdot 1\,dx=\frac{xe^{2x}}{2}-\frac{e^{2x}}{4}+C$$ $$I=e^{2x}\left(\frac{x^{2}}{ | + | #: b) $$I=\int x^{2}e^{2x}dx=\frac{e^{2x}}{2}x^{2}-\int \frac{e^{2x}}{2}2x\,dx$$ $$I_2=\int xe^{2x}dx=\frac{e^{2x}}{2}x-\int \frac{e^{2x}}{2}\cdot 1\,dx=\frac{xe^{2x}}{2}-\frac{e^{2x}}{4}+C$$ $$I=e^{2x}\left(\frac{x^{2}}{2}-\frac{x}{2}+\frac{1}{4}\right)+C$$ |
#: c) $$I=\int e^{x}\sin x\,dx=e^{x}\sin x-\int e^{x}\cos x \,dx$$ $$I_{2}=\int e^{x}\cos x\,dx=e^{x}\cos x-\int e^{x}(-\sin x)dx=e^{x}\cos x+\int e^{x}\sin x\,dx$$ $$I=e^{x}\left(\sin x-\cos x\right)-I$$ $$2I=e^{x}\left(\sin x-\cos x\right)$$ $$I=\frac{e^{x}}{2}\left(\sin x-\cos x\right)+C$$</wlatex> | #: c) $$I=\int e^{x}\sin x\,dx=e^{x}\sin x-\int e^{x}\cos x \,dx$$ $$I_{2}=\int e^{x}\cos x\,dx=e^{x}\cos x-\int e^{x}(-\sin x)dx=e^{x}\cos x+\int e^{x}\sin x\,dx$$ $$I=e^{x}\left(\sin x-\cos x\right)-I$$ $$2I=e^{x}\left(\sin x-\cos x\right)$$ $$I=\frac{e^{x}}{2}\left(\sin x-\cos x\right)+C$$</wlatex> | ||
</noinclude> | </noinclude> | ||
A lap jelenlegi, 2014. január 9., 16:10-kori változata
| Navigáció Pt·1·2·3 |
|---|
| Kísérleti fizika gyakorlat 1. |
| Gyakorlatok listája: |
| Integrálás |
Feladatok listája:
|
| © 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064 |
Feladat
- * Határozzuk meg az alábbi integrálokat parciális integrálással!
- a)
![\[\int x\cos x \,dx\]](/images/math/2/e/1/2e1c4c5b5750faf60873240307a73b73.png)
- b)
![\[I=\int x^{2}e^{2x}dx\]](/images/math/1/2/8/128ae8d82a57ba5def5bef0294ca766d.png)
- c)
![\[I=\int e^{x}\sin x\,dx\]](/images/math/d/0/a/d0a9fea2785d66530873a5bb106678f4.png)
- a)
Megoldás
- a)
![\[\int x\cos x \,dx=x\sin x -\int 1\cdot\sin x\,dx=x\sin x+\cos x+C\]](/images/math/1/3/6/136bf4bcf3ea21f5b235664e42ad36fb.png)
- b)
![\[I=\int x^{2}e^{2x}dx=\frac{e^{2x}}{2}x^{2}-\int \frac{e^{2x}}{2}2x\,dx\]](/images/math/a/3/7/a3751384092d155323be1dc3eddce67e.png)
![\[I_2=\int xe^{2x}dx=\frac{e^{2x}}{2}x-\int \frac{e^{2x}}{2}\cdot 1\,dx=\frac{xe^{2x}}{2}-\frac{e^{2x}}{4}+C\]](/images/math/b/5/d/b5d9735ab8213c630a0270fa2d5a280e.png)
![\[I=e^{2x}\left(\frac{x^{2}}{2}-\frac{x}{2}+\frac{1}{4}\right)+C\]](/images/math/b/8/a/b8a5b90547871c758e595ec78edd0997.png)
- c)
![\[I=\int e^{x}\sin x\,dx=e^{x}\sin x-\int e^{x}\cos x \,dx\]](/images/math/5/9/7/5973354446a554599c5b834ba34a4d2b.png)
![\[I_{2}=\int e^{x}\cos x\,dx=e^{x}\cos x-\int e^{x}(-\sin x)dx=e^{x}\cos x+\int e^{x}\sin x\,dx\]](/images/math/c/0/3/c03ea0d68461b149bf8c0e6ad67f1fe9.png)
![\[I=e^{x}\left(\sin x-\cos x\right)-I\]](/images/math/e/7/b/e7bbb07837dbb97b07ee953090c40938.png)
![\[2I=e^{x}\left(\sin x-\cos x\right)\]](/images/math/0/e/a/0ea4fb2dcaad726084a5f97c7ba086e3.png)
![\[I=\frac{e^{x}}{2}\left(\sin x-\cos x\right)+C\]](/images/math/2/6/9/2694d5de8d17472c997f3ab0f0774802.png)
- a)
