„Integrálás - Vegyes integrálok” változatai közötti eltérés
A Fizipedia wikiből
(Új oldal, tartalma: „<noinclude> Kategória:Kísérleti fizika gyakorlat 1. Kategória:Szerkesztő:Gombkötő {{Kísérleti fizika gyakorlat | tárgynév = Kísérleti fizika gyakor…”) |
|||
| 9. sor: | 9. sor: | ||
</noinclude><wlatex># Határozzu meg az alábbi integrálokat lehetőség szerint többféle módszerrel! | </noinclude><wlatex># Határozzu meg az alábbi integrálokat lehetőség szerint többféle módszerrel! | ||
a) $$\int e^{x}\mbox{sh} x\,dx$$ | a) $$\int e^{x}\mbox{sh} x\,dx$$ | ||
| − | b) $$\int\frac{1}{x^{2}+3}dx$$</wlatex><includeonly><wlatex>{{Végeredmény|content=a) $\frac{e^{2x}}{4}-\frac{x}{2}+C$ | + | b) $$\int\frac{1}{x^{2}+3}dx$$</wlatex><includeonly><wlatex>{{Végeredmény|content=a) $\frac{e^{2x}}{4}-\frac{x}{2}+C$ |
| − | b) $\frac{1}{\sqrt{3}}\mbox{ | + | b) $\frac{1}{\sqrt{3}}\mbox{arctg}\left(\frac{x}{\sqrt{3}}\right)+C$}}</wlatex></includeonly><noinclude> |
== Megoldás == | == Megoldás == | ||
<wlatex>a) $$\int e^{x}\mbox{sh} x\,dx=\frac{e^{2x}}{4}-\frac{x}{2}+C$$ | <wlatex>a) $$\int e^{x}\mbox{sh} x\,dx=\frac{e^{2x}}{4}-\frac{x}{2}+C$$ | ||
| 16. sor: | 16. sor: | ||
Mivel $\left(\mbox{arctg} x\right)'=\frac{1}{x^{2}+1}$, hasonló megoldást várunk. Az egyetlen eltérés ehhez képest a nevezőben a 3-as.Átalakítva az integrált $$\frac{1}{3}\int\frac{1}{\frac{x^{2}}{3}+1}dx$$ bevezethetjük az $\frac{x^{2}}{3}=\left(\frac{x}{\sqrt{3}}\right)^{2}=y^{2}$ azaz $x=\sqrt{3}y$ helyettesítést. Ebből a transzformációs képletből: | Mivel $\left(\mbox{arctg} x\right)'=\frac{1}{x^{2}+1}$, hasonló megoldást várunk. Az egyetlen eltérés ehhez képest a nevezőben a 3-as.Átalakítva az integrált $$\frac{1}{3}\int\frac{1}{\frac{x^{2}}{3}+1}dx$$ bevezethetjük az $\frac{x^{2}}{3}=\left(\frac{x}{\sqrt{3}}\right)^{2}=y^{2}$ azaz $x=\sqrt{3}y$ helyettesítést. Ebből a transzformációs képletből: | ||
$$\frac{dx}{dy}=\sqrt{3},$$ így az átírt integrál | $$\frac{dx}{dy}=\sqrt{3},$$ így az átírt integrál | ||
| − | $$\frac{1}{3}\int\frac{1}{y^{2}+1}\sqrt{3}dx=\frac{1}{\sqrt{3}}\mbox{ | + | $$\frac{1}{3}\int\frac{1}{y^{2}+1}\sqrt{3}dx=\frac{1}{\sqrt{3}}\mbox{arctg}\,y+C$$ visszahelyettesítés után végül: $$\frac{1}{\sqrt{3}}\mbox{arctg}\left(\frac{x}{\sqrt{3}}\right)+C$$</wlatex> |
</noinclude> | </noinclude> | ||
A lap 2013. március 28., 15:15-kori változata
| Navigáció Pt·1·2·3 |
|---|
| Kísérleti fizika gyakorlat 1. |
| Gyakorlatok listája: |
| Integrálás |
| Feladatok listája: |
| © 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064 |
Feladat
- Határozzu meg az alábbi integrálokat lehetőség szerint többféle módszerrel!
![\[\int e^{x}\mbox{sh} x\,dx\]](/images/math/c/8/5/c85ec32a9805d564de6b373645ecf759.png)
![\[\int\frac{1}{x^{2}+3}dx\]](/images/math/1/6/2/1622a50694d6aad64f076ecc09655c73.png)
Megoldás
a)![\[\int e^{x}\mbox{sh} x\,dx=\frac{e^{2x}}{4}-\frac{x}{2}+C\]](/images/math/c/d/c/cdc40363703b27cf9ac2fc8f728809e9.png)
, hasonló megoldást várunk. Az egyetlen eltérés ehhez képest a nevezőben a 3-as.Átalakítva az integrált ![\[\frac{1}{3}\int\frac{1}{\frac{x^{2}}{3}+1}dx\]](/images/math/6/0/d/60d76fddfec4146e899adeb250bfd0bb.png)
azaz 
helyettesítést. Ebből a transzformációs képletből:
![\[\frac{dx}{dy}=\sqrt{3},\]](/images/math/4/6/2/4627bb36f49484989353b30c9296ed4d.png)
![\[\frac{1}{3}\int\frac{1}{y^{2}+1}\sqrt{3}dx=\frac{1}{\sqrt{3}}\mbox{arctg}\,y+C\]](/images/math/f/7/9/f79464f3176e2849fc07dfbd72ce2a59.png)
![\[\frac{1}{\sqrt{3}}\mbox{arctg}\left(\frac{x}{\sqrt{3}}\right)+C\]](/images/math/1/7/a/17ae43437200f976baf5faea2bdad36f.png)
