Kinematika - 1.4.20

A Fizipedia wikiből
A lap korábbi változatát látod, amilyen Gombkoto (vitalap | szerkesztései) 2014. január 9., 15:21-kor történt szerkesztése után volt.

(eltér) ←Régebbi változat | Aktuális változat (eltér) | Újabb változat→ (eltér)
Navigáció Pt·1·2·3
Kísérleti fizika gyakorlat 1.
Gyakorlatok listája:
  1. Deriválás
  2. Integrálás
  3. Mozgástan
  4. Erőtan I.
  5. Erőtan II.
  6. Munka, energia
  7. Pontrendszerek
  8. Merev testek I.
  9. Merev testek II.
  10. Rugalmasság, folyadékok
  11. Rezgések I.
  12. Rezgések II.
  13. Hullámok
Mechanika - Mozgástan
Feladatok listája:
  1. Kinematika - 1.1.7
  2. Kinematika - 1.2.6
  3. Kinematika - 1.2.8
  4. Kinematika - 1.3.1
  5. Kinematika - Változó mozgás
  6. Kinematika - 1.3.8
  7. Kinematika - 1.4.6
  8. Kinematika - 1.4.7
  9. Kinematika - 1.4.10
  10. Kinematika - 1.4.17
  11. Kinematika - 1.4.18
  12. Kinematika - 1.4.20
  13. Kinematika - 1.4.23
  14. Kinematika - Ferde hajítás
© 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064

Feladat

  1. (*1.4.20) Egy ember a tó partján sétálva a tóban egy fuldoklót vesz észre. A fuldokló a parttól \setbox0\hbox{$h_{1}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, az ember \setbox0\hbox{$h_{2}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% távolságban van. A fuldokló és a mentésére siető távolsága \setbox0\hbox{$s$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%. Milyen úton haladjon a mentésre siető ember, hogy a fuldoklót leghamarabb elérje, ha a parton futva \setbox0\hbox{$v_{2}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, a vízben úszva \setbox0\hbox{$v_{1}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% sebességgel tud haladni?

Megoldás

  1. A távolságok rögzítettek, ezért az ábrán szereplő \setbox0\hbox{$L$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% távolság is rögzített. A mentésre indulónak azt kell eldöntenie, hogy milyen \setbox0\hbox{$\alpha$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% szög alatt kell a part felé indulnia, és milyen \setbox0\hbox{$\beta$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% irányba ússzon.
    1.4.20.svg
    A mentés összes ideje az ábrán jelzett \setbox0\hbox{$x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% távolság függvényében
    \[T(x)=\frac{\sqrt{h_{2}^{2}+x^{2}}}{v_{2}}+\frac{\sqrt{h_{1}^{2}+(L-x)^{2}}}{v_{1}}\]
    szerint írható. Az idő minimális, ha
    \[\frac{dT}{dx}=0\]
    \[\frac{1}{v_{2}}\frac{x}{\sqrt{h_{2}^{2}+x^{2}}}-\frac{1}{v_{1}}\frac{L-x}{\sqrt{h_{2}^{2}+(L-x)^{2}}}=0\,,\]
    ahol egy kettes szorzóval már egyszerűsítettünk. Az ábra alapján észrevehetjük, hogy
    \[\frac{x}{\sqrt{h_{2}^{2}+x^{2}}}=\sin\alpha\qquad\mbox{és}\qquad\frac{L-x}{\sqrt{h_{2}^{2}+(L-x)^{2}}}=\sin\beta\,,\]
    így a minimális időt az alábbi feltétel határozza meg.
    \[\frac{\sin\alpha}{\sin\beta}=\frac{v_{2}}{v_{1}}\]
    Az eredményben felismerhetjük a Snellius-Descartes törvényt. Az optikában a fény terjedésének leírásához általában is használható az úgynevezett Fermat-elv, amely variációs elvnek a mechanikai analógiája ez a feladat.