Erőtan I. - Futószalag

Feladat

1. Egy gyárban egy érdekes futószalagot látunk. A futószalag egy vízszintes lap, amit $\setbox0\hbox{$R$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sugarú kerekek együttes forgatása mozgat. A lap mindig vízszintes. Rajta nyugszik egy kicsiny test, a lap és a test között a súrlódási együttható $\setbox0\hbox{$\mu$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$.

   a.) Legfeljebb mekkora legyen a szögsebesség, ha nem szeretnénk, hogy a test elváljon a laptól?

   b.) Legalább mekkora legyen a kerekek szögsebessége, ha szeretnénk, hogy a test megcsússzon a lapon?

   c.) Kvalitative milyen mozgást végez a test?

Megoldás

1. a.) Ha a test nem válik el a laptól, akkor a függőleges koordinátájának időfüggése:

   $\[y(t) = R \sin (\omega t + \varphi) \, ,\]$

   ahol $\setbox0\hbox{$\varphi$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ valamilyen (számunkra most lényegtelen) kezdőfázis. Deriváljuk ezt kétszer idő szerint!

   $\[a_y(t) = - R \omega^2 \sin(\omega t + \varphi) \, . \]$

   Akkor nem válik el a laptól, ha a függőleges gyorsulás maximuma kisebb mint $\setbox0\hbox{$g$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, ebből $\setbox0\hbox{$R \omega^2 < g$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, vagyis

   $\[\omega < \sqrt{\frac{g}{R}} \; .\]$

   b.) A feladat megválaszolásához először tegyük fel, hogy a test nem csúszik meg. Ekkor a koordinátáinak időfüggése ($\setbox0\hbox{$\varphi = 0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ az egyszerűség kedvéért.):

   $\[y(t) = R \sin (\omega t) \, ,\]$

   $\[x(t) = R \cos(\omega t) \, .\]$

   A gyorsulás függőleges komponense:

   $\[a_y(t) = - R \omega^2 \sin(\omega t) \, , \]$

   ebből a nyomóerő időfüggése

   $\[N = m a_y + m g = - m R \omega^2 \sin(\omega t) + m g \, .\]$

   Feltéve, hogy az a.) feladatban kapottnál kisebb az $\setbox0\hbox{$omega$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, ez biztosan pozitív.

   A gyorsulás vízszintes komponense

   $\[a_x(t) = - R \omega^2 \cos(\omega t) \, .\]$

   Ezt a tapadási súrlódási erő hozza létre, azaz

   $\[ T = - m R \omega^2 \cos(\omega t)\]$

   . A test akkor csúszik meg, ha ez nagyobb, mint $\setbox0\hbox{$\mu N$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, azaz

   $\[ |T| > \mu N\]$

   $\[ m R \omega^2 |\cos(\omega t)| > \mu m g - \mu m R \omega^2 \sin(\omega t) \, .\]$

   Arról hamar meggyőződhetünk, hogy megcsúszástól akkor kell

tartanunk először, amikor a test épp...