Erőtan II. - Coriolis

A Fizipedia wikiből
Navigáció Pt·1·2·3
Kísérleti fizika gyakorlat 1.
Gyakorlatok listája:
  1. Deriválás
  2. Integrálás
  3. Mozgástan
  4. Erőtan I.
  5. Erőtan II.
  6. Munka, energia
  7. Pontrendszerek
  8. Merev testek I.
  9. Merev testek II.
  10. Rugalmasság, folyadékok
  11. Rezgések I.
  12. Rezgések II.
  13. Hullámok
Mechanika - Erőtan II.
Feladatok listája:
  1. Erőtan II. - 2.1.21
  2. Erőtan II. - 2.1.23
  3. Erőtan II. - 4.2
  4. Erőtan II. - 4.3
  5. Erőtan II. - 4.4
  6. Erőtan II. - 4.8
  7. Erőtan II. - 4.13
  8. Erőtan II. - 4.24
  9. Erőtan II. - 4.37
  10. Erőtan II. - 6.7
  11. Erőtan II. - 6.8
  12. Erőtan II. - 6.10
  13. Erőtan II. - Forgó rotor még egyszer
  14. Erőtan II. - Coriolis
© 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064

Feladat

  1. Egy \setbox0\hbox{$l$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% hosszúságú fonal végén \setbox0\hbox{$m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% tömegű kicsiny test található. A fonal másik végét fogva, \setbox0\hbox{$\omega$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% szögsebességgel forgatjuk a testet egy vízszintes, súrlódásmentes asztalon. Mekkora a kötélerő? Oldjuk meg a feladatot álló rendszerből nézve, ill az együttforgó rendszerből nézve is. Ezután oldjuk meg a feladatot valamely más \setbox0\hbox{$\Omega \ne \omega$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% szögsebességgel forgó rendszerből is! Milyen tehetetlenségi erők lépnek fel az egyes esetekben?

Megoldás

  1. Ha az álló rendszerből nézzük, úgy itt a test \setbox0\hbox{$\omega$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% körfrekvenciájú körmozgást végez. A centripetális gyorsulása \setbox0\hbox{$a_cp = l \omega^2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% a kör középpontja felé. A befelé ható kötélerő innen:
    \[K = m l \omega^2 \; .\]
    Ha beülünk az együttforgó koordinátarendszerbe, úgy azt látjuk, hogy a test áll, ezért rá az erőknek egyensúlyt kell tartani. Forgó koordinátarendszerben fellép a centrifugális erő, \setbox0\hbox{$F_{cf} = m l \omega^2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% kifelé. A test egyensúlya megköveteli, hogy befelé fellépjen egy
    \[K = m l \omega^2\]
    kötélerő.
    Ha egy \setbox0\hbox{$\Omega$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% szögsebességgel forgó koordinátarendszert veszünk, úgy a testet \setbox0\hbox{$\omega - \Omega$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% szögsebességgel látjuk keringeni. Az egyszerűség kedvéért tegyük fel, hogy \setbox0\hbox{$\Omega < \omega$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, a másik eset teljesen hasonlóan tárgyalható. Ebben a rendszerben a test centripetális gyorsulása \setbox0\hbox{$l (\omega - \Omega)^2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%. A testre hat a centrifugális erő kifelé \setbox0\hbox{$F_{cf} = m l \Omega^2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, ill. a Coriolis erő : \setbox0\hbox{$\vec{F}_{Cor} = 2 m \vec{v} \times \vec{\Omega}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, ami kiszámolva a keresztszorzatot \setbox0\hbox{$2 m l (\omega - \Omega) \Omega$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% kifelé. Ebből
    \[m a_{cp} = K - m l \Omega^2 -  2 m l (\omega - \Omega) \Omega \]
    \[ m l (\omega - \Omega)^2 = K - m l \Omega^2 -  2 m l (\omega - \Omega) \Omega \, ,\]
    Átrendezve
    \[K = m l \omega^2 \; .\]
    Láthatjuk tehát, hogy a kötélerő nagysága nem függ a koordinátarendszer megválasztásától.