Mechanika - Folyadékóra

Feladat

1. (5.11.) A homokóra mintájára "folyadékórát" készítünk. A folyadékóra tartályának alján kicsi, $\setbox0\hbox{$A$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ keresztmetszetű lyukon folyik ki a folyadék. Milyen alakú forgástestté kell kiképezni az edényt, ha azt akarjuk, hogy a folyadék felszíne állandó $\setbox0\hbox{$v_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sebességgel süllyedjen?

Megoldás

A tartály alakját leíró $\setbox0\hbox{$h(r)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ függvényt, vagy annak inverzét keressük, ahol $\setbox0\hbox{$r$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ az erény sugara a kifolyó nyílás felett $\setbox0\hbox{$h$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ magasságban. A térfogatáram állandósága

$\[Av=r^2\pi v_0,\]$

továbbá a Bernoulli-egyenlet

$\[\frac12\rho v^2=\frac12\rho v_0^2+\rho gh\]$

egymásba helyettesítve $\setbox0\hbox{$v$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ kiejtésével teremt kapcsolatot a két mennyiség között. Ezekből

$\[h(r)=\frac{v_0^2}{2g}\left(\frac{\pi^2r^4}{A^2}-1\right)\]$

egy invertálható függvény.