Mechanika - Rugalmas energia sűrűsége

Feladat

1. (5.3.) Egy eredetileg $\setbox0\hbox{$L$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hosszúságú, $\setbox0\hbox{$A$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ keresztmetszetű, $\setbox0\hbox{$E$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ Young-modulusú huzalt a rugalmassági határon belül $\setbox0\hbox{$\sigma$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$? rugalmas feszültséggel terhelünk. Mennyi a huzalban tárolt rugalmas energia térfogati sűrűsége?

Megoldás

A teljes huzalban tárolt rugalmas energia a huzal "rugóállandójával" és teljes megnyúlásával kifejezve $\setbox0\hbox{$W=\frac12D(\Delta l)^2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. A rugóállandó függ a huzal geomteriájától és anyagától - azaz Young-modulusától -, a megnyúlás pedig a feszültséggel hozható kapcsolatba. Mivel a Hooke-törvény

$\[\sigma=\frac FA=E\frac{\Delta l}L,\]$

egyrészt $\setbox0\hbox{$\Delta l=\frac{\sigma L}E$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, másrészt

$\[F=\frac{AE}L\Delta l=D\Delta l,\]$

azaz $\setbox0\hbox{$D=\frac{AE}L$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. Ezeket beírva a rugalmas energia kifejezésébe

$\[W=\frac{AL\sigma^2}{2E},\]$

ezt a $\setbox0\hbox{$V=AL$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ térfogattal leosztva kapjuk

$\[w_r=\frac{\sigma^2}{2E}\]$