Mechanika - Forgó folyadék felszíne

Feladat

1. (5.9.) Egy $\setbox0\hbox{$R$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sugarú, függőleges helyzetű henger a benne lévő folyadékkal együtt függőleges tengely körül $\setbox0\hbox{$\omega$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ szögsebességgel forog. Milyen alakot vesz fel a folyadék felszíne? (A kanadai Large Zenith Telescope higannyal töltött kör alakú medencéje 8,5 fordulat/perc sebességgel forog. Mekkora az így képzett tükör fókusztávolsága?)

Megoldás

A tengelytől $\setbox0\hbox{$x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ távolságban a forgó rendszerben egy $\setbox0\hbox{$F_{\rm{cf}}=m\omega^2x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ nagyságú vízszintes tehetetlenségi (konkrétan centrifugális) erőt észlelünk. Ezt a nehézkedéshez hozzávéve bevezethetünk egy eredő vagy effektív nehézségi+tehetetlenségi gyorsulást. Legyen az y-tengely függőleges, az x-tengely pedig vízszintes:

$\[\vec g*=-g\vec e_y+\omega^2x\vec e_x\]$

Erre lesz merőleges a folyadékfelszín minden pontban, tehát a felszín vízszintessel bezárt szögére

$\[\tan{\alpha}=\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=\frac{\omega^2x}g,\]$

melyből

$\[y(x)=\frac{\omega^2x^2}{2g}+y_0,\]$

ha $\setbox0\hbox{$(x\leq R)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. Azaz a folyadékfelszín alakja egy forgási paraboloid. (ha a folyadék higany, akkor egy a látható fényt jól tükröző felület képződik, amellyel csillagátszati távcső építhető. Ez ugyan csak "felfelé" lát, innen a zenit elnevezés, viszont szinte tökéletes forgási paraboloidot képez, amely a végtelen távolból érkező és optikai tengellyel párhuzamos fénysugarakat egy fókuszpontba gyűjti.)