Mechanika - Vízbe merített farúd

Feladat

1. (5.6.) Vékony, egyenletes $\setbox0\hbox{$A$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ keresztmetszetű, $\setbox0\hbox{$L$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hosszúságú fa rudat egyik végénél minden irányban elforgatható módon felfüggesztünk, másik végét pedig vízbe merítjük az ábra szerint. Mennyi a rúd vízből kiálló részének $\setbox0\hbox{$x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hossza, ha a rúd sűrűsége $\setbox0\hbox{$\rho= 0,75\rho_v$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$?
   

Megoldás

A rúd egyensúlyához szükséges a nulla eredő erő és forgatónyomaték. Az előbbihez a csuklópontnál fel lehet venni egy megfelelő kényszererőt, azonban ezt nem kell meghatározni, ha a nyomatéki egyenletet a csuklópontba írjuk fel, kizárólag a súlyerő és a felhajtóerő nyomatékára lesz szükség. Ha a rúd a függőlegessel $\setbox0\hbox{$\alpha$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ szöget zár be, a súlyerő nyomatéka

$\[M=mg\frac L2\sin{\alpha}=\frac34\rho_vALg\frac L2\sin{\alpha},\]$

a felhajtóerőé pedig

$\[M_{fel}=m_vg\left(x+\frac{L-x}2\right)\sin{\alpha}=\rho_vA(L-x)g\frac{L+x}2\sin{\alpha}\]$

A kettő egyenlőségéből egyszerűsítések után kapjuk:

$\[\frac{3L^2}8=\frac{L^2-x^2}2,\]$

melyből

$\[x=\frac L2\]$

adódik.