„Erőtan II. - 2.1.21” változatai közötti eltérés
A Fizipedia wikiből
(→Feladat) |
|||
8. sor: | 8. sor: | ||
}} | }} | ||
== Feladat == | == Feladat == | ||
− | </noinclude><wlatex># (2.1.21) Egy testre a nehézségi erőn kívül a sebességgel arányos fékező erő hat. ($F_{s}=-\alpha v$) | + | </noinclude><wlatex># (**2.1.21) Egy testre a nehézségi erőn kívül a sebességgel arányos fékező erő hat. ($F_{s}=-\alpha v$) |
#: a) Írjuk le a test mozgását, ha $h$ magasságból kezdősebesség nélkül indult! | #: a) Írjuk le a test mozgását, ha $h$ magasságból kezdősebesség nélkül indult! | ||
#: b) Milyen lesz a test mozgása $t\gg m/\alpha$ és $t\ll m/\alpha$ esetén? | #: b) Milyen lesz a test mozgása $t\gg m/\alpha$ és $t\ll m/\alpha$ esetén? | ||
#: c) Hogyan változik időben a test teljes energiája? | #: c) Hogyan változik időben a test teljes energiája? | ||
</wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=Írjuk fel a mozgásegyenletet a függőleges mozgásra! Oldjuk meg az így kapott, sebességre vonatkozó differenciál egyenletet!}}{{Végeredmény|content= a) $$y(t)=h-\frac{gm}{\alpha}t+\frac{gm^{2}}{\alpha^{2}}\left(1-e^{-\frac{\alpha}{m}t}\right)$$ <br> b) $$y\left(t\gg \frac{m}{\alpha}\right)=h-\frac{gm}{\alpha}t+\frac{gm^{2}}{\alpha^{2}}$$ $$y\left(t\gg \frac{m}{\alpha}\right)=h-\frac{g}{2}t^{2}$$ <br> c) $$E(t)=mg\left[h-\frac{gm}{\alpha}t+\frac{gm^{2}}{\alpha^{2}}\left(1-e^{-\frac{\alpha}{m}t}\right)\right]+\frac{g^{2}m^{3}}{2\alpha^{2}}\left(e^{-\frac{\alpha}{m}t}-1\right)^{2}$$}}</wlatex></includeonly><noinclude> | </wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=Írjuk fel a mozgásegyenletet a függőleges mozgásra! Oldjuk meg az így kapott, sebességre vonatkozó differenciál egyenletet!}}{{Végeredmény|content= a) $$y(t)=h-\frac{gm}{\alpha}t+\frac{gm^{2}}{\alpha^{2}}\left(1-e^{-\frac{\alpha}{m}t}\right)$$ <br> b) $$y\left(t\gg \frac{m}{\alpha}\right)=h-\frac{gm}{\alpha}t+\frac{gm^{2}}{\alpha^{2}}$$ $$y\left(t\gg \frac{m}{\alpha}\right)=h-\frac{g}{2}t^{2}$$ <br> c) $$E(t)=mg\left[h-\frac{gm}{\alpha}t+\frac{gm^{2}}{\alpha^{2}}\left(1-e^{-\frac{\alpha}{m}t}\right)\right]+\frac{g^{2}m^{3}}{2\alpha^{2}}\left(e^{-\frac{\alpha}{m}t}-1\right)^{2}$$}}</wlatex></includeonly><noinclude> | ||
+ | |||
== Megoldás == | == Megoldás == | ||
<wlatex>#: a) A testre csak a függőlegesen lefelé irányított gravitációs és a függőlegesen felfelé irányított közegellenállási erők hatnak. A függőleges irányú mozgásegyenlet tehát $$ma=-mg-\alpha v$$ alakban írható. A mozgás az $y$ tengely mentén történik, amelyet úgy irányítunk, hogy a pozitív vége függőlegesen felfelé mutat. A gyorsulás a sebességnek az idő szerinti deriváltja, így a mozgásegyenlet matematikai szempontból egy elsőrendű, lineáris differenciálegyenlet a sebességre vonatkozóan. $$\dot{v}=-g-\frac{\alpha}{m}v$$ A differenciálegyenletet kell $v(0)=0$ kezdő feltétel mellett megoldani. $$\dot{v}=-\frac{\alpha}{m}\left(v+\frac{gm}{\alpha}\right)$$ Legyen $\tilde{v}(t)=v(t)+\frac{gm}{\alpha}$! Ezzel $$\dot{\tilde{v}}=-\frac{\alpha}{m}\tilde{v}\,,$$ melynek megoldása $$\tilde{v}(t)=Ae^{-\frac{\alpha}{m}t}$$ tetszőleges $A$ konstanssal, melyet majd a kezdeti feltétel segítségével tudunk meghatározni. $$v(t)=Ae^{-\frac{\alpha}{m}t}-\frac{gm}{\alpha}$$ A kezdeti feltétel $v(0)=0$. Ez csak úgy tud teljesülni, ha $$A=\frac{gm}{\alpha}\,.$$ Így a test sebessége az idő függvényében $$v(t)=\frac{gm}{\alpha}\left(e^{-\frac{\alpha}{m}t}-1\right)\,,$$ a test helyzete pedig az $y(0)=h$ kezdeti feltétellel $$y(t)=y(0)+\int_{0}^{t}v(t')dt'=h-\frac{gm}{\alpha}t+\frac{gm^{2}}{\alpha^{2}}\left(1-e^{-\frac{\alpha}{m}t}\right)\,.$$ | <wlatex>#: a) A testre csak a függőlegesen lefelé irányított gravitációs és a függőlegesen felfelé irányított közegellenállási erők hatnak. A függőleges irányú mozgásegyenlet tehát $$ma=-mg-\alpha v$$ alakban írható. A mozgás az $y$ tengely mentén történik, amelyet úgy irányítunk, hogy a pozitív vége függőlegesen felfelé mutat. A gyorsulás a sebességnek az idő szerinti deriváltja, így a mozgásegyenlet matematikai szempontból egy elsőrendű, lineáris differenciálegyenlet a sebességre vonatkozóan. $$\dot{v}=-g-\frac{\alpha}{m}v$$ A differenciálegyenletet kell $v(0)=0$ kezdő feltétel mellett megoldani. $$\dot{v}=-\frac{\alpha}{m}\left(v+\frac{gm}{\alpha}\right)$$ Legyen $\tilde{v}(t)=v(t)+\frac{gm}{\alpha}$! Ezzel $$\dot{\tilde{v}}=-\frac{\alpha}{m}\tilde{v}\,,$$ melynek megoldása $$\tilde{v}(t)=Ae^{-\frac{\alpha}{m}t}$$ tetszőleges $A$ konstanssal, melyet majd a kezdeti feltétel segítségével tudunk meghatározni. $$v(t)=Ae^{-\frac{\alpha}{m}t}-\frac{gm}{\alpha}$$ A kezdeti feltétel $v(0)=0$. Ez csak úgy tud teljesülni, ha $$A=\frac{gm}{\alpha}\,.$$ Így a test sebessége az idő függvényében $$v(t)=\frac{gm}{\alpha}\left(e^{-\frac{\alpha}{m}t}-1\right)\,,$$ a test helyzete pedig az $y(0)=h$ kezdeti feltétellel $$y(t)=y(0)+\int_{0}^{t}v(t')dt'=h-\frac{gm}{\alpha}t+\frac{gm^{2}}{\alpha^{2}}\left(1-e^{-\frac{\alpha}{m}t}\right)\,.$$ |
A lap 2014. január 9., 15:29-kori változata
Navigáció Pt·1·2·3 |
---|
Kísérleti fizika gyakorlat 1. |
Gyakorlatok listája: |
Mechanika - Erőtan II. |
Feladatok listája: |
© 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064 |
Feladat
- (**2.1.21) Egy testre a nehézségi erőn kívül a sebességgel arányos fékező erő hat. ()
- a) Írjuk le a test mozgását, ha magasságból kezdősebesség nélkül indult!
- b) Milyen lesz a test mozgása és esetén?
- c) Hogyan változik időben a test teljes energiája?
Megoldás
- a) A testre csak a függőlegesen lefelé irányított gravitációs és a függőlegesen felfelé irányított közegellenállási erők hatnak. A függőleges irányú mozgásegyenlet tehát alakban írható. A mozgás az tengely mentén történik, amelyet úgy irányítunk, hogy a pozitív vége függőlegesen felfelé mutat. A gyorsulás a sebességnek az idő szerinti deriváltja, így a mozgásegyenlet matematikai szempontból egy elsőrendű, lineáris differenciálegyenlet a sebességre vonatkozóan. A differenciálegyenletet kell kezdő feltétel mellett megoldani. Legyen ! Ezzel melynek megoldása tetszőleges konstanssal, melyet majd a kezdeti feltétel segítségével tudunk meghatározni. A kezdeti feltétel . Ez csak úgy tud teljesülni, ha Így a test sebessége az idő függvényében a test helyzete pedig az kezdeti feltétellel
- b) Ha , akkor az exponenciálisok nagyon kicsivé válnak. Elegendően sokat várva tehát már egyenes vonalú egyenletes mozgást végez a test. Ha , akkor az exponenciálisok argumentumában egy kis szám szerepel. Kihasználva azt a közelítést, miszerint kis -re , megadhatunk egy közelítő formulát a sebességre. Az elmozdulás az ilyen rendű közelítésben csak lenne. A közelítés következő rendjében , amely szerint Kis időkre tehát úgy viselkedik a test, mintha nem is hatna rá közegellenállás. Ez érthető is, hiszen ebben az idő tartományban még nagyon kicsi a sebesség és így kicsi a vele arányos közegellenállási erő.
- c) A test teljes energiája szerint változik az időben.