„Erőtan II. - 4.13” változatai közötti eltérés
A Fizipedia wikiből
(→Feladat) |
|||
| (3 szerkesztő 4 közbeeső változata nincs mutatva) | |||
| 8. sor: | 8. sor: | ||
}} | }} | ||
== Feladat == | == Feladat == | ||
| − | </noinclude><wlatex># | + | </noinclude><wlatex># (*4.13) Egy liftben $D$ direkciós erejű rugóra erősítve egy $m$ tömegű testet függesztünk fel. A test a $t<0$ időpontokban nyugalomban van. A lift a $t=0$ időpontban $a_{0}$ gyorsulással emelkedni kezd. (4.13. ábra) $D=5 \,\mathrm{\frac{N}{m}}$, $m=0,2 \,\mathrm{kg}$, $a_{0}=2 \,\mathrm{\frac{m}{s^2}}$. |
#: a) Milyennek észleli a test mozgását a liftbeli megfigyelő? | #: a) Milyennek észleli a test mozgását a liftbeli megfigyelő? | ||
#: b) Külön ábrán jelölje be az m tömegű testre - a gyorsuló lift koordinátarendszerében - ható erőket, és írja fel a test mozgásegyenletét az ábrán bejelölt (lifthez rögzített) koordinátarendszerben! | #: b) Külön ábrán jelölje be az m tömegű testre - a gyorsuló lift koordinátarendszerében - ható erőket, és írja fel a test mozgásegyenletét az ábrán bejelölt (lifthez rögzített) koordinátarendszerben! | ||
| − | #: c) Határozza meg a test mozgását jellemző $y(t)$ függvényt, ha a test az ábra szerinti $y=0$ koordinátájú pontban történő elhelyezkedése a $t<0$ időpontokban fennálló egyensúlyi állapotra érvényes! (Az $y(t)$ függvény jellemző mennyiségeit számszerűen adja meg!) | + | #: c) Határozza meg a test mozgását jellemző $y(t)$ függvényt, ha a test az ábra szerinti $y=0$ koordinátájú pontban történő elhelyezkedése a $t<0$ időpontokban fennálló egyensúlyi állapotra érvényes! (Az $y(t)$ függvény jellemző mennyiségeit számszerűen adja meg!)[[Kép:Kfgy1_05_4_13.svg|none|250px]]</wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=Írjuk fel a testekre ható erőket!}}{{Végeredmény|content=a) A test a rugón rezegni kezd. <br> b) $$m\ddot{y}=-Dy-ma_{0}$$ c) $$y(t)=y_{0}(1-\cos(\omega t))\qquad\qquad y_{0}=-0,08\,\mathrm{m}$$}}</wlatex></includeonly><noinclude> |
| − | </wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=Írjuk fel a testekre ható erőket!}}{{Végeredmény|content=a) A test a rugón rezegni kezd. <br> b) $$m\ddot{y}=-Dy-ma_{0}$$ c) $$y(t)=y_{0}(1-\cos(\omega t))\qquad\qquad y_{0}=-0,08\,\mathrm{m}$$}}</wlatex></includeonly><noinclude> | + | |
== Megoldás == | == Megoldás == | ||
<wlatex>#: a) A gyorsulás hatására a lifthez rögzített vonatkoztatási rendszerben a testre hat egy függőleges irányú és $F_{t}=ma_{0}$ nagyságú tehetetlenségi erő. Ennek hatására a test a rugón rezegni kezd. | <wlatex>#: a) A gyorsulás hatására a lifthez rögzített vonatkoztatási rendszerben a testre hat egy függőleges irányú és $F_{t}=ma_{0}$ nagyságú tehetetlenségi erő. Ennek hatására a test a rugón rezegni kezd. | ||
#: b) A mozgásegyenlet a lift koordináta-rendszerében $$m\ddot{y}=D\Delta l-mg-F_{t}\,,$$ ahol a rugó megnyúlása $\Delta l=\Delta l_{0}-y$ szerint függ össze a test helyzetével. Az egyensúlyi helyzetben ($t<0$) a megnyúlás $\Delta l_{0}=\frac{mg}{D}$ volt. Így a mozgásegyenlet $$m\ddot{y}=-Dy-ma_{0}\,.$$ | #: b) A mozgásegyenlet a lift koordináta-rendszerében $$m\ddot{y}=D\Delta l-mg-F_{t}\,,$$ ahol a rugó megnyúlása $\Delta l=\Delta l_{0}-y$ szerint függ össze a test helyzetével. Az egyensúlyi helyzetben ($t<0$) a megnyúlás $\Delta l_{0}=\frac{mg}{D}$ volt. Így a mozgásegyenlet $$m\ddot{y}=-Dy-ma_{0}\,.$$ | ||
| − | #: c) | + | #: c) A mozgásegyenlet egy differenciál egyenlet, melyet az $y(0)=0$ és $\dot{y}(0)=0$ kezdeti feltételek mellett kell megoldani. $$\ddot{y}+\omega^{2}(y-y_{0})=0\qquad \omega=\sqrt{\frac{D}{m}}=5\frac{1}{\,\mathrm{s}}\qquad y_{0}=-\frac{ma_{0}}{D}=-0,08\,\mathrm{m}$$ A $\Delta y=y-y_{0}$-ra vonatkozó $\Delta\ddot{y}+\omega^{2}\Delta y=0$ differenciálegyenlet két független megoldása $\sin(\omega t)$ és $\cos(\omega t)$, így $$y(t)=y_{0}+A\sin(\omega t)+B\cos(\omega t)\,,$$ ahol az $A$ és $B$ paramétereket a kezdeti feltételek segítségével kell maghatározni. $$0=y(0)=y_{0}+B\qquad\Rightarrow\qquad B=-y_{0}$$ $$0=\dot{y}(0)=A\omega\qquad\Rightarrow \qquad A=0$$ Így $$y(t)=y_{0}(1-\cos(\omega t))\,.$$ |
| − | A mozgásegyenlet egy differenciál egyenlet, melyet az $y(0)=0$ és $\dot{y}(0)=0$ kezdeti feltételek mellett kell megoldani. $$\ddot{y}+\omega^{2}(y-y_{0})=0\qquad \omega=\sqrt{\frac{D}{m}}=5\frac{1}{\,\mathrm{s}}\qquad y_{0}=-\frac{ma_{0}}{D}=-0,08\,\mathrm{m}$$ A $\Delta y=y-y_{0}$-ra vonatkozó $\Delta\ddot{y}+\omega^{2}\Delta y=0$ differenciálegyenlet két független megoldása $\sin(\omega t)$ és $\cos(\omega t)$, így $$y(t)=y_{0}+A\sin(\omega t)+B\cos(\omega t)\,,$$ ahol az $A$ és $B$ paramétereket a kezdeti feltételek segítségével kell maghatározni. $$0=y(0)=y_{0}+B\qquad\Rightarrow\qquad B=-y_{0}$$ $$0=\dot{y}(0)=A\omega\qquad\Rightarrow \qquad A=0$$ Így $$y(t)=y_{0}(1-\cos(\omega t))\,.$$ | + | |
</wlatex> | </wlatex> | ||
</noinclude> | </noinclude> | ||
A lap jelenlegi, 2014. január 9., 15:31-kori változata
| Navigáció Pt·1·2·3 |
|---|
| Kísérleti fizika gyakorlat 1. |
| Gyakorlatok listája: |
| Mechanika - Erőtan II. |
| Feladatok listája: |
| © 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064 |
Feladat
- (*4.13) Egy liftben
direkciós erejű rugóra erősítve egy 
tömegű testet függesztünk fel. A test a 
időpontokban nyugalomban van. A lift a 
időpontban 
gyorsulással emelkedni kezd. (4.13. ábra) 
, 
, 
.
- a) Milyennek észleli a test mozgását a liftbeli megfigyelő?
- b) Külön ábrán jelölje be az m tömegű testre - a gyorsuló lift koordinátarendszerében - ható erőket, és írja fel a test mozgásegyenletét az ábrán bejelölt (lifthez rögzített) koordinátarendszerben!
- c) Határozza meg a test mozgását jellemző
függvényt, ha a test az ábra szerinti 
koordinátájú pontban történő elhelyezkedése a időpontokban fennálló egyensúlyi állapotra érvényes! (Az függvény jellemző mennyiségeit számszerűen adja meg!)
Megoldás
- a) A gyorsulás hatására a lifthez rögzített vonatkoztatási rendszerben a testre hat egy függőleges irányú és
nagyságú tehetetlenségi erő. Ennek hatására a test a rugón rezegni kezd.
- b) A mozgásegyenlet a lift koordináta-rendszerében ahol a rugó megnyúlása
![\[m\ddot{y}=D\Delta l-mg-F_{t}\,,\]](/images/math/8/d/1/8d197b7ac6f376c316064115c2baa8ce.png)
szerint függ össze a test helyzetével. Az egyensúlyi helyzetben () a megnyúlás 
volt. Így a mozgásegyenlet ![\[m\ddot{y}=-Dy-ma_{0}\,.\]](/images/math/3/4/4/34454d0d19d8ed83ab73829f1cd00ad8.png)
- c) A mozgásegyenlet egy differenciál egyenlet, melyet az
és 
kezdeti feltételek mellett kell megoldani. A![\[\ddot{y}+\omega^{2}(y-y_{0})=0\qquad \omega=\sqrt{\frac{D}{m}}=5\frac{1}{\,\mathrm{s}}\qquad y_{0}=-\frac{ma_{0}}{D}=-0,08\,\mathrm{m}\]](/images/math/2/a/3/2a3e6fd304215d2a14978bc5ea989cef.png)
-ra vonatkozó 
differenciálegyenlet két független megoldása 
és 
, így ahol az![\[y(t)=y_{0}+A\sin(\omega t)+B\cos(\omega t)\,,\]](/images/math/c/e/a/cea66346fc0a7a38157c411f1be38dbf.png)
és 
paramétereket a kezdeti feltételek segítségével kell maghatározni. ![\[0=y(0)=y_{0}+B\qquad\Rightarrow\qquad B=-y_{0}\]](/images/math/2/2/6/2262fc0bbf4016c545f96aaf7e0434a6.png)
Így![\[0=\dot{y}(0)=A\omega\qquad\Rightarrow \qquad A=0\]](/images/math/3/b/6/3b6564df8fcc98b5eede1e87d80f8905.png)
![\[y(t)=y_{0}(1-\cos(\omega t))\,.\]](/images/math/9/2/5/925b4cce2bb2f478743e0c7b34da2fa0.png)
- a) A gyorsulás hatására a lifthez rögzített vonatkoztatási rendszerben a testre hat egy függőleges irányú és
