„Mechanika - Rezgő merev rúd feszültségállapota” változatai közötti eltérés
A Fizipedia wikiből
a (→Feladat) |
|||
| 8. sor: | 8. sor: | ||
}} | }} | ||
== Feladat == | == Feladat == | ||
| − | </noinclude><wlatex># (5.15.) | + | </noinclude><wlatex># (*5.15.) Egy $\rho$ sűrűségű, $A$ keresztmetszetű és $l$ hosszúságú homogén merev rudat az ábra szerint két rugó közé teszünk. A rúd a rugók egyenesében rezeghet, például egy súrlódásmentes csőben, és egyensúlyi helyzetében mindkét rugó nyújtatlan. Bizonyítsuk be, hogy a mechanikai feszültség a rúd mentén egyenletesen változik és tetszőleges helyen nézve rezgést végez. Hol van mindenkor feszültségmentes keresztmetszet, és hol vannak szélsőértékek a feszültségben?[[Kép:Kfgy1-5-15.svg|none|250px]]</wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=Írjuk fel a Newton-féle mozgásegyenletet a rúd egy kis $dx$ hosszúságú darabjára!}}{{Végeredmény|content=Mivel a test merev, a gyorsulás független a helytől, ezért a mechanikai feszültség csak lineárisan változhat. A rúd végein a feszültség és a keresztmetszet szorzata egyenlő kell legyen az (időfüggő!) rugóerőkkel.}}</wlatex></includeonly><noinclude> |
| + | |||
== Megoldás == | == Megoldás == | ||
<wlatex>A rúd egy tetszőleges kis $dx$ hosszúságú darabjának mozgásegyenlete $$a(x,t)dm=a(x)\rho Adx=F(x+dx,t)-F(x,t)=dF.$$ Ebből a mechanikai feszültségre a $$a(x,t)\rho=\frac 1A\frac{\partial F(x,t)}{\partial x}=\frac{\partial\sigma(x,t)}{\partial x}$$ egyenletet kapjuk. Mivel a rúd merev, a gyorsulása helyfüggetlen, így $a(x,t)=a(t)$, a deformáció mindenhol nulla (a Young modulus ebben a közelítésben végtelen, ahogy a rugalmas hullám terjedési sebessége is), a mechanikai feszültség viszont véges, és ugyanolyan jelleggel rezeg időben, ahogy a rúd kitérése és a vele arányos gyorsulása is. Továbbá a hely függvényében a feszültség csak lineáris lehet a gyorsulás hely szerint állandósága miatt. A $\sigma(x,t)$ függvény $x$ változó szerinti meredeksége időben folyamatosan változik, rezeg. Ha a rudat $\Delta x$ mértékben kimozdítjuk az egyensúlyi helyzetéből, az egyik rugó összenyomódik, a másik megnyúlik, így a rúd egyik vége nyomott, a másik húzott állapotban lesz, azaz a mechanika feszültség a rúd végein ellentétes előjelű, és az erősebb rugónál abszolút értékben nagyobb. Valahol a rúd mentén tehát a feszültség szükségképpen nulla, és ez nem feltétlenül a rúd közepén van, hanem a rúd hosszát a rugóállandók arányában kell felosztani. Ezen a helyen a feszültség viszont minden időpontban nulla! A feszültség a szélső értékeit végeredményben a rúd végein veszi fel. [[Kép:Kfgy1-5-15M.svg|none|350px]]</wlatex> | <wlatex>A rúd egy tetszőleges kis $dx$ hosszúságú darabjának mozgásegyenlete $$a(x,t)dm=a(x)\rho Adx=F(x+dx,t)-F(x,t)=dF.$$ Ebből a mechanikai feszültségre a $$a(x,t)\rho=\frac 1A\frac{\partial F(x,t)}{\partial x}=\frac{\partial\sigma(x,t)}{\partial x}$$ egyenletet kapjuk. Mivel a rúd merev, a gyorsulása helyfüggetlen, így $a(x,t)=a(t)$, a deformáció mindenhol nulla (a Young modulus ebben a közelítésben végtelen, ahogy a rugalmas hullám terjedési sebessége is), a mechanikai feszültség viszont véges, és ugyanolyan jelleggel rezeg időben, ahogy a rúd kitérése és a vele arányos gyorsulása is. Továbbá a hely függvényében a feszültség csak lineáris lehet a gyorsulás hely szerint állandósága miatt. A $\sigma(x,t)$ függvény $x$ változó szerinti meredeksége időben folyamatosan változik, rezeg. Ha a rudat $\Delta x$ mértékben kimozdítjuk az egyensúlyi helyzetéből, az egyik rugó összenyomódik, a másik megnyúlik, így a rúd egyik vége nyomott, a másik húzott állapotban lesz, azaz a mechanika feszültség a rúd végein ellentétes előjelű, és az erősebb rugónál abszolút értékben nagyobb. Valahol a rúd mentén tehát a feszültség szükségképpen nulla, és ez nem feltétlenül a rúd közepén van, hanem a rúd hosszát a rugóállandók arányában kell felosztani. Ezen a helyen a feszültség viszont minden időpontban nulla! A feszültség a szélső értékeit végeredményben a rúd végein veszi fel. [[Kép:Kfgy1-5-15M.svg|none|350px]]</wlatex> | ||
</noinclude> | </noinclude> | ||
A lap 2014. január 9., 15:45-kori változata
| Navigáció Pt·1·2·3 |
|---|
| Kísérleti fizika gyakorlat 1. |
| Gyakorlatok listája: |
| Mechanika - Rugalmasság, folyadékok |
| Feladatok listája: |
| © 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064 |
Feladat
- (*5.15.) Egy
sűrűségű, 
keresztmetszetű és 
hosszúságú homogén merev rudat az ábra szerint két rugó közé teszünk. A rúd a rugók egyenesében rezeghet, például egy súrlódásmentes csőben, és egyensúlyi helyzetében mindkét rugó nyújtatlan. Bizonyítsuk be, hogy a mechanikai feszültség a rúd mentén egyenletesen változik és tetszőleges helyen nézve rezgést végez. Hol van mindenkor feszültségmentes keresztmetszet, és hol vannak szélsőértékek a feszültségben?
Megoldás
A rúd egy tetszőleges kis
hosszúságú darabjának mozgásegyenlete ![\[a(x,t)dm=a(x)\rho Adx=F(x+dx,t)-F(x,t)=dF.\]](/images/math/8/4/f/84fda094616acbae1f3be4e85910f60a.png)
![\[a(x,t)\rho=\frac 1A\frac{\partial F(x,t)}{\partial x}=\frac{\partial\sigma(x,t)}{\partial x}\]](/images/math/b/2/7/b27af2d6aab982a7a54c85dde11e7328.png)
, a deformáció mindenhol nulla (a Young modulus ebben a közelítésben végtelen, ahogy a rugalmas hullám terjedési sebessége is), a mechanikai feszültség viszont véges, és ugyanolyan jelleggel rezeg időben, ahogy a rúd kitérése és a vele arányos gyorsulása is. Továbbá a hely függvényében a feszültség csak lineáris lehet a gyorsulás hely szerint állandósága miatt. A 
függvény 
változó szerinti meredeksége időben folyamatosan változik, rezeg. Ha a rudat 
mértékben kimozdítjuk az egyensúlyi helyzetéből, az egyik rugó összenyomódik, a másik megnyúlik, így a rúd egyik vége nyomott, a másik húzott állapotban lesz, azaz a mechanika feszültség a rúd végein ellentétes előjelű, és az erősebb rugónál abszolút értékben nagyobb. Valahol a rúd mentén tehát a feszültség szükségképpen nulla, és ez nem feltétlenül a rúd közepén van, hanem a rúd hosszát a rugóállandók arányában kell felosztani. Ezen a helyen a feszültség viszont minden időpontban nulla! A feszültség a szélső értékeit végeredményben a rúd végein veszi fel. 
