„Erőtan II. - 6.7” változatai közötti eltérés

A lap 2013. július 1., 11:24-kori változata (lapforrás) Gombkoto (vitalap | szerkesztései) ← Régebbi szerkesztés		A lap jelenlegi, 2014. január 28., 12:51-kori változata (lapforrás) Gombkoto (vitalap | szerkesztései)
(egy szerkesztő egy közbeeső változata nincs mutatva)
8. sor:		8. sor:
	}}		}}
	== Feladat ==		== Feladat ==
−	</noinclude><wlatex># Határozzuk meg a nehézségi erőtérben, az ábrán látható módon a $k_{1}$ és $k_{2}$ direkciós erejű rugókra erősített $m$ tömegű test rezgési frekvenciáit![[Kép:Kfgy1_6_7.svg|none|250px]]	+	</noinclude><wlatex># (6.7.) Határozzuk meg a nehézségi erőtérben az ábrán látható módon a $k_1$ és $k_2$ direkciós erejű rugókra erősített $m$ tömegű test rezgési frekvenciáit! [[Kép:Kfgy1_6_7.svg|none|250px]]</wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=Írjuk fel a test mozgásegyenletét mindkét esetben, és határozzunk meg effektív rugólállandókat!}}{{Végeredmény|content=$$\omega=2\pi f=\sqrt{\frac{k_{\rm{eff}}}m},$$ ahol $$k_{\rm{eff}}=k_1+k_2,$$ illetve $$\frac1{k_{\rm{eff}}}=\frac1{k_1}+\frac1{k_2}$$}}</wlatex></includeonly><noinclude>
−	</wlatex><includeonly><wlatex>{{Végeredmény|content=Sorba kötött rugók: $$\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}=\sqrt{\frac{k_{1}k_{2}}{m(k_{1}+k_{2})}}$$ Párhuzamosan kötött rugók: $$\omega=\sqrt{\frac{k_{1}+k_{2}}{m}}$$}}</wlatex></includeonly><noinclude>	+
	== Megoldás ==		== Megoldás ==
−	<wlatex>#: A sorba kötött rugók helyettesíthetők egyetlen rugóval, melynek direkciós állandója $$k=\frac{1}{\frac{1}{k_{1}}+\frac{1}{k_{2}}}\,.$$ A rezgés frekvenciája ekkor $$\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}=\sqrt{\frac{k_{1}k_{2}}{m(k_{1}+k_{2})}}\,.$$ Párhuzamos csatolás esetén $$k=k_{1}+k_{2}\,,$$ így $$\omega=\sqrt{\frac{k_{1}+k_{2}}{m}}\,.$$	+	<wlatex>Az állandó nehézségi erőtér csak a rezgés egyensúlyi helyzetét tolja el, a rezgés frekvenciáját nem befolyásolja, ezért ezt a mozgásegyenletekből elhagyhatjuk. A feladat lényege a sorosan vagy párhuzamosan kapcsolt rugók $k_{\rm{eff}}$ eredő rugóállandójának meghatározása. Párhuzamos esetben a mozgásegyenlet $$m\ddot x=-k_1m-k_2m=-(k_1+k_2)m,$$ ebből az eredő rugóállandó $$k_{\rm{eff}}=k_1+k_2,$$ azaz több párhuzamosan kapcsolt rugó esetén a rugóállandók összeadódnak. A rezgés körfrekvenciája $$\omega=\sqrt{\frac{k_{\rm{eff}}}m}$$ Soros esetben a két rugót feszítő $F$ erő azonos, hisz a kettejük érintezésénél lévő erőpárnak azonos nagyságúnak kell lennie (Newton III. axióma!). Ez az $F$ erő hat az $m$ tömegre is, így a mozgásegyenlet $$m\ddot x=F=k_1x_1=k_2x_2=k_{\rm{eff}}x,$$ ahol $x_1$ és $x_2$ a két rugó megnyúlása, $x=x_1+x_2$ pedig a test elmozdulása, egyben a rugólánc teljes megnyúlása. Az egyenlet utolsó kifejezése maga az eredő rugóállandó definíciója is egyben. Továbbírva az egyenletet $$F=k_{\rm{eff}}(x_1+x_2)=k_{\rm{eff}}(\frac F{k_1}+\frac F{k_2}),$$ melyet $F$-el egyszerűsítve és rendezve kapjuk $$\frac1{k_{\rm{eff}}}=\frac1{k_1}+\frac1{k_2},$$ általános esetben pedig reciprok összegzési szabályt kaphatunk a sorba kapcsolt rugókra.</wlatex>
−	</wlatex>	+
	</noinclude>		</noinclude>

---

A lap jelenlegi, 2014. január 28., 12:51-kori változata

Navigáció Pt·1·2·3
Kísérleti fizika gyakorlat 1.
Gyakorlatok listája: Deriválás Integrálás Mozgástan Erőtan I. Erőtan II. Munka, energia Pontrendszerek Merev testek I. Merev testek II. Rugalmasság, folyadékok Rezgések I. Rezgések II. Hullámok
Mechanika - Erőtan II.
Feladatok listája: Erőtan II. - 2.1.21 Erőtan II. - 2.1.23 Erőtan II. - 4.2 Erőtan II. - 4.3 Erőtan II. - 4.4 Erőtan II. - 4.8 Erőtan II. - 4.13 Erőtan II. - 4.24 Erőtan II. - 4.37 Erőtan II. - 6.7 Erőtan II. - 6.8 Erőtan II. - 6.10 Erőtan II. - Forgó rotor még egyszer Erőtan II. - Coriolis
© 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064

Feladat

1. (6.7.) Határozzuk meg a nehézségi erőtérben az ábrán látható módon a és direkciós erejű rugókra erősített tömegű test rezgési frekvenciáit!
   

Megoldás

Az állandó nehézségi erőtér csak a rezgés egyensúlyi helyzetét tolja el, a rezgés frekvenciáját nem befolyásolja, ezért ezt a mozgásegyenletekből elhagyhatjuk. A feladat lényege a sorosan vagy párhuzamosan kapcsolt rugók eredő rugóállandójának meghatározása. Párhuzamos esetben a mozgásegyenlet ebből az eredő rugóállandó azaz több párhuzamosan kapcsolt rugó esetén a rugóállandók összeadódnak. A rezgés körfrekvenciája Soros esetben a két rugót feszítő erő azonos, hisz a kettejük érintezésénél lévő erőpárnak azonos nagyságúnak kell lennie (Newton III. axióma!). Ez az erő hat az tömegre is, így a mozgásegyenlet ahol és a két rugó megnyúlása, pedig a test elmozdulása, egyben a rugólánc teljes megnyúlása. Az egyenlet utolsó kifejezése maga az eredő rugóállandó definíciója is egyben. Továbbírva az egyenletet melyet -el egyszerűsítve és rendezve kapjuk általános esetben pedig reciprok összegzési szabályt kaphatunk a sorba kapcsolt rugókra.