„Mechanika - Rezgő merev rúd feszültségállapota” változatai közötti eltérés

A lap 2014. január 7., 15:37-kori változata (lapforrás) Gombkoto (vitalap | szerkesztései) ← Régebbi szerkesztés		A lap jelenlegi, 2014. január 13., 15:54-kori változata (lapforrás) Gombkoto (vitalap | szerkesztései) (→‎Megoldás)
(egy szerkesztő 2 közbeeső változata nincs mutatva)
8. sor:		8. sor:
	}}		}}
	== Feladat ==		== Feladat ==
−	</noinclude><wlatex># (5.15.)* Egy $\rho$ sűrűségű, $A$ keresztmetszetű és $l$ hosszúságú homogén merev rudat az ábra szerint két rugó közé teszünk. A rúd a rugók egyenesében rezeghet, például egy súrlódásmentes csőben, és egyensúlyi helyzetében mindkét rugó nyújtatlan. Bizonyítsuk be, hogy a mechanikai feszültség a rúd mentén egyenletesen változik és tetszőleges helyen nézve rezgést végez. Hol van mindenkor feszültségmentes keresztmetszet, és hol vannak szélsőértékek a feszültségben?[[Kép:Kfgy1-5-15.svg|none|250px]]</wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=Írjuk fel a Newton-féle mozgásegyenletet a rúd egy kis $dx$ hosszúságú darabjára!}}{{Végeredmény|content=Mivel a test merev, a gyorsulás független a helytől, ezért a mechanikai feszültség csak lineárisan változhat. A rúd végein a feszültség és a keresztmetszet szorzata egyenlő kell legyen az (időfüggő!) rugóerőkkel.}}</wlatex></includeonly><noinclude>	+	</noinclude><wlatex># (*5.15.) Egy $\rho$ sűrűségű, $A$ keresztmetszetű és $l$ hosszúságú homogén merev rudat az ábra szerint két rugó közé teszünk. A rúd a rugók egyenesében rezeghet, például egy súrlódásmentes csőben, és egyensúlyi helyzetében mindkét rugó nyújtatlan. Bizonyítsuk be, hogy a mechanikai feszültség a rúd mentén egyenletesen változik és tetszőleges helyen nézve rezgést végez. Hol van mindenkor feszültségmentes keresztmetszet, és hol vannak szélsőértékek a feszültségben?[[Kép:Kfgy1-5-15.svg|none|250px]]</wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=Írjuk fel a Newton-féle mozgásegyenletet a rúd egy kis $dx$ hosszúságú darabjára!}}{{Végeredmény|content=Mivel a test merev, a gyorsulás független a helytől, ezért a mechanikai feszültség csak lineárisan változhat. A rúd végein a feszültség és a keresztmetszet szorzata egyenlő kell legyen az (időfüggő!) rugóerőkkel.}}</wlatex></includeonly><noinclude>
		+
	== Megoldás ==		== Megoldás ==
−	<wlatex>A rúd egy tetszőleges kis $dx$ hosszúságú darabjának mozgásegyenlete $$a(x,t)dm=a(x)\rho Adx=F(x+dx,t)-F(x,t)=dF.$$ Ebből a mechanikai feszültségre a $$a(x,t)\rho=\frac 1A\frac{\partial F(x,t)}{\partial x}=\frac{\partial\sigma(x,t)}{\partial x}$$ egyenletet kapjuk. Mivel a rúd merev, a gyorsulása helyfüggetlen, így $a(x,t)=a(t)$, a deformáció mindenhol nulla (a Young modulus ebben a közelítésben végtelen, ahogy a rugalmas hullám terjedési sebessége is), a mechanikai feszültség viszont véges, és ugyanolyan jelleggel rezeg időben, ahogy a rúd kitérése és a vele arányos gyorsulása is. Továbbá a hely függvényében a feszültség csak lineáris lehet a gyorsulás hely szerint állandósága miatt. A $\sigma(x,t)$ függvény $x$ változó szerinti meredeksége időben folyamatosan változik, rezeg. Ha a rudat $\Delta x$ mértékben kimozdítjuk az egyensúlyi helyzetéből, az egyik rugó összenyomódik, a másik megnyúlik, így a rúd egyik vége nyomott, a másik húzott állapotban lesz, azaz a mechanika feszültség a rúd végein ellentétes előjelű, és az erősebb rugónál abszolút értékben nagyobb. Valahol a rúd mentén tehát a feszültség szükségképpen nulla, és ez nem feltétlenül a rúd közepén van, hanem a rúd hosszát a rugóállandók arányában kell felosztani. Ezen a helyen a feszültség viszont minden időpontban nulla! A feszültség a szélső értékeit végeredményben a rúd végein veszi fel. [[Kép:Kfgy1-5-15M.svg|none|350px]]</wlatex>	+	<wlatex> [[Kép:Kfgy1-5-15M2.svg|none|345px]] A rúd egy tetszőleges kis $dx$ hosszúságú darabjának mozgásegyenlete $$a(x,t)dm=a(x,t)\rho Adx=\sigma(x+dx,t)A-\sigma(x,t)A=d\sigma A=F(x+dx,t)+F(x,t),$$ ahol a két erő azonos előjelű feszültségek esetén ellentétes előjelű, mivel a darabka két oldalán hatnak. (Habár a modellünk merev test, ezek az erők a valóságban rugalmas eredetűek.) Ebből $A$-val egyszerűsítve és $dx$-el "átosztva" a $$\rho a(x,t)=\frac{d\sigma(x,t)}{dx}$$ egyenletet kapjuk. Mivel a rúd merev, a gyorsulása helyfüggetlen, így $a(x,t)=a(t)$, a deformáció mindenhol nulla (a Young modulus ebben a közelítésben végtelen, ahogy a rugalmas hullám terjedési sebessége is), a mechanikai feszültség viszont véges, és ugyanolyan jelleggel rezeg időben, ahogy a rúd kitérése és a vele arányos gyorsulása is. Továbbá a hely függvényében a feszültség csak lineáris lehet a gyorsulás hely szerint állandósága miatt. A $\sigma(x,t)$ függvény $x$ változó szerinti meredeksége időben folyamatosan változik, rezeg. Ha a rudat $\Delta x$ mértékben kimozdítjuk az egyensúlyi helyzetéből, az egyik rugó összenyomódik, a másik megnyúlik, így a rúd egyik vége nyomott, a másik húzott állapotban lesz, azaz a mechanika feszültség a rúd végein ellentétes előjelű, és az erősebb rugónál abszolút értékben nagyobb. Valahol a rúd mentén tehát a feszültség szükségképpen nulla, és ez nem feltétlenül a rúd közepén van, hanem a rúd hosszát a rugóállandók arányában kell felosztani. Ezen a helyen a feszültség viszont minden időpontban nulla! A feszültség a szélső értékeit végeredményben a rúd végein veszi fel. [[Kép:Kfgy1-5-15M.svg|none|350px]]</wlatex>
	</noinclude>		</noinclude>

---

A lap jelenlegi, 2014. január 13., 15:54-kori változata

Navigáció Pt·1·2·3
Kísérleti fizika gyakorlat 1.
Gyakorlatok listája: Deriválás Integrálás Mozgástan Erőtan I. Erőtan II. Munka, energia Pontrendszerek Merev testek I. Merev testek II. Rugalmasság, folyadékok Rezgések I. Rezgések II. Hullámok
Mechanika - Rugalmasság, folyadékok
Feladatok listája: Tengerbe lógatott drótkötél Fémhuzal önsúllyal Rugalmas energia sűrűsége Rezgő merev rúd feszültségállapota Rétegezett folyadékok Vízbe merített farúd Medencefal terhelése Fagolyó vízcsőben Forgó folyadék felszíne Folyadékóra Kifolyás sebessége Lamináris áramlás Jegesmedve jégtáblán
© 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064

Feladat

1. (*5.15.) Egy sűrűségű, keresztmetszetű és hosszúságú homogén merev rudat az ábra szerint két rugó közé teszünk. A rúd a rugók egyenesében rezeghet, például egy súrlódásmentes csőben, és egyensúlyi helyzetében mindkét rugó nyújtatlan. Bizonyítsuk be, hogy a mechanikai feszültség a rúd mentén egyenletesen változik és tetszőleges helyen nézve rezgést végez. Hol van mindenkor feszültségmentes keresztmetszet, és hol vannak szélsőértékek a feszültségben?
   

Megoldás

A rúd egy tetszőleges kis hosszúságú darabjának mozgásegyenlete ahol a két erő azonos előjelű feszültségek esetén ellentétes előjelű, mivel a darabka két oldalán hatnak. (Habár a modellünk merev test, ezek az erők a valóságban rugalmas eredetűek.) Ebből -val egyszerűsítve és -el "átosztva" a egyenletet kapjuk. Mivel a rúd merev, a gyorsulása helyfüggetlen, így , a deformáció mindenhol nulla (a Young modulus ebben a közelítésben végtelen, ahogy a rugalmas hullám terjedési sebessége is), a mechanikai feszültség viszont véges, és ugyanolyan jelleggel rezeg időben, ahogy a rúd kitérése és a vele arányos gyorsulása is. Továbbá a hely függvényében a feszültség csak lineáris lehet a gyorsulás hely szerint állandósága miatt. A függvény változó szerinti meredeksége időben folyamatosan változik, rezeg. Ha a rudat mértékben kimozdítjuk az egyensúlyi helyzetéből, az egyik rugó összenyomódik, a másik megnyúlik, így a rúd egyik vége nyomott, a másik húzott állapotban lesz, azaz a mechanika feszültség a rúd végein ellentétes előjelű, és az erősebb rugónál abszolút értékben nagyobb. Valahol a rúd mentén tehát a feszültség szükségképpen nulla, és ez nem feltétlenül a rúd közepén van, hanem a rúd hosszát a rugóállandók arányában kell felosztani. Ezen a helyen a feszültség viszont minden időpontban nulla! A feszültség a szélső értékeit végeredményben a rúd végein veszi fel.