„Erőtan II. - Forgó rotor még egyszer” változatai közötti eltérés

A Fizipedia wikiből
11. sor: 11. sor:
  
 
== Megoldás ==
 
== Megoldás ==
−
<wlatex>#: Majd lesz.
+
<wlatex>#: Ha az inga szögkitérése $\varphi$, úgy rá vízszintesen $F_{cf} = m L \sin(\varphi) \omega^2$ centrifugális erő hat a forgó k.r. -ben. Ennek a tangenciális komponense $m L \omega^2 \sin(\varphi) \cos(\varphi)$. A nehézségi erő tangenciális komponense $- m g \sin(\varphi)$. Az egyensúly feltétele tangenciális irányban: $$ m L \omega^2 \sin(\varphi) \cos(\varphi) - m g \sin(\varphi) = 0 \; .$$ Ennek az egyenletnek triviális megoldása a $\varphi = 0$. Ha azonban véges kitérése van, úgy $$L \omega^2 \cos(\varphi) = g \; ,$$ amiből $\cos(\varphi) = \frac{g}{L \omega^2}$. Ez csak akkor ad megoldást, ha a jobboldal kisebb 1-nél, azaz $L \omega^2 > g$.
 +
#: Írjuk fel az inga mozgásegyenletét tetszőleges kitérés esetén. Ha a rotor nem engedi kicsavarodni az ingát, úgy a Coriolis erőt a rotor kompenzálja, ezért csak a centrifugális erővel kell számolni. A tangenciális mozgásegyenlet: $$m L \ddot{\varphi} =  m L \omega^2 \sin(\varphi) \cos(\varphi) - m g \sin(\varphi) \; , $$ azaz $$\ddot{\varphi} = \omega^2 \sin(\varphi) \cos(\varphi) -  \frac{g}{L} \sin(\varphi) \; .$$ Fejtsük lineáris rendig Taylor sorba ezt a kifejezést $\varphi_0 = \arccos \left( \frac{ g}{L \omega^2} \right)$ körül. Mivel $\varphi_0$ épp az egyensúlyi helyzet, a konstans tag eltűnik. A jobboldal első deriváltja: $$\omega^2 (\cos^2(\varphi) - \sin^2(\varphi)) - \frac{g}{L} \cos(\varphi) =  \omega^2 (2 \cos^2(\varphi) - 1) - \frac{g}{L} \cos(\varphi)\; . $$ Behelyettesítve ebbe $\varphi_0$ értékét: $$\omega^2 \left(2 \frac{g^2}{L^2 \omega^4} - 1 \right) - \frac{g^2}{L^2 \omega^2} = \frac{g^2}{L^2 \omega^2} - \omega^2 \; .$$ Ezzel a $\varphi_0$ körüli kis kitérések esetén: $$\ddot{\varphi} \approx - \left( \omega^2 - \frac{g^2}{L^2 \omega^2} \right) (\varphi - \varphi_0) \; .$$ A rezgések körfrekvenciája innen leolvasva: $$\Omega = \sqrt{ \omega^2 - \frac{g^2}{L^2 \omega^2}} \; . $$
 
</wlatex>
 
</wlatex>
 
</noinclude>
 
</noinclude>

A lap 2014. november 10., 21:03-kori változata

Navigáció Pt·1·2·3
Kísérleti fizika gyakorlat 1.
Gyakorlatok listája:
  1. Deriválás
  2. Integrálás
  3. Mozgástan
  4. Erőtan I.
  5. Erőtan II.
  6. Munka, energia
  7. Pontrendszerek
  8. Merev testek I.
  9. Merev testek II.
  10. Rugalmasság, folyadékok
  11. Rezgések I.
  12. Rezgések II.
  13. Hullámok
Mechanika - Erőtan II.
Feladatok listája:
  1. Erőtan II. - 2.1.21
  2. Erőtan II. - 2.1.23
  3. Erőtan II. - 4.2
  4. Erőtan II. - 4.3
  5. Erőtan II. - 4.4
  6. Erőtan II. - 4.8
  7. Erőtan II. - 4.13
  8. Erőtan II. - 4.24
  9. Erőtan II. - 4.37
  10. Erőtan II. - 6.7
  11. Erőtan II. - 6.8
  12. Erőtan II. - 6.10
  13. Erőtan II. - Forgó rotor még egyszer
  14. Erőtan II. - Coriolis
© 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064

Feladat

  1. Oldjuk meg az Erőtan I. - 2.4.4 feladatot újból, de most a rotorral együttforgó koordinátarendszerben! Ha \setbox0\hbox{$l \omega^2 > g$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, adjuk meg az inga rezgéseinek frekvenciáját, ha kicsit kitérítjük egyensúlyi helyzetéből. (Tegyük fel, hogy az ingát a rotorhoz egy merev rúd köti, ami a rotorral együtt forog.)

Megoldás

  1. Ha az inga szögkitérése \setbox0\hbox{$\varphi$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, úgy rá vízszintesen \setbox0\hbox{$F_{cf} = m L \sin(\varphi) \omega^2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% centrifugális erő hat a forgó k.r. -ben. Ennek a tangenciális komponense \setbox0\hbox{$m L \omega^2 \sin(\varphi) \cos(\varphi)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%. A nehézségi erő tangenciális komponense \setbox0\hbox{$- m g \sin(\varphi)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%. Az egyensúly feltétele tangenciális irányban:
    \[ m L \omega^2 \sin(\varphi) \cos(\varphi) - m g \sin(\varphi) = 0 \; .\]
    Ennek az egyenletnek triviális megoldása a \setbox0\hbox{$\varphi = 0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%. Ha azonban véges kitérése van, úgy
    \[L \omega^2 \cos(\varphi) = g \; ,\]
    amiből \setbox0\hbox{$\cos(\varphi) = \frac{g}{L \omega^2}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%. Ez csak akkor ad megoldást, ha a jobboldal kisebb 1-nél, azaz \setbox0\hbox{$L \omega^2 > g$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%.
    Írjuk fel az inga mozgásegyenletét tetszőleges kitérés esetén. Ha a rotor nem engedi kicsavarodni az ingát, úgy a Coriolis erőt a rotor kompenzálja, ezért csak a centrifugális erővel kell számolni. A tangenciális mozgásegyenlet:
    \[m L \ddot{\varphi} = m L \omega^2 \sin(\varphi) \cos(\varphi) - m g \sin(\varphi) \; , \]
    azaz
    \[\ddot{\varphi} = \omega^2 \sin(\varphi) \cos(\varphi) - \frac{g}{L} \sin(\varphi) \; .\]
    Fejtsük lineáris rendig Taylor sorba ezt a kifejezést \setbox0\hbox{$\varphi_0 = \arccos \left( \frac{ g}{L \omega^2} \right)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% körül. Mivel \setbox0\hbox{$\varphi_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% épp az egyensúlyi helyzet, a konstans tag eltűnik. A jobboldal első deriváltja:
    \[\omega^2 (\cos^2(\varphi) - \sin^2(\varphi)) - \frac{g}{L} \cos(\varphi) = \omega^2 (2 \cos^2(\varphi) - 1) - \frac{g}{L} \cos(\varphi)\; . \]
    Behelyettesítve ebbe \setbox0\hbox{$\varphi_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% értékét:
    \[\omega^2 \left(2 \frac{g^2}{L^2 \omega^4} - 1 \right) - \frac{g^2}{L^2 \omega^2} = \frac{g^2}{L^2 \omega^2} - \omega^2 \; .\]
    Ezzel a \setbox0\hbox{$\varphi_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% körüli kis kitérések esetén:
    \[\ddot{\varphi} \approx - \left( \omega^2 - \frac{g^2}{L^2 \omega^2} \right) (\varphi - \varphi_0) \; .\]
    A rezgések körfrekvenciája innen leolvasva:
    \[\Omega = \sqrt{ \omega^2 - \frac{g^2}{L^2 \omega^2}} \; . \]
A lap eredeti címe: „https://fizipedia.bme.hu/index.php?title=Erőtan_II._-_Forgó_rotor_még_egyszer&oldid=15467”