„Mechanika - Jegesmedve jégtáblán” változatai közötti eltérés
A Fizipedia wikiből
11. sor: | 11. sor: | ||
== Megoldás == | == Megoldás == | ||
− | <wlatex>A jégtábla legkisebb lehetséges térfogata $V=10\frac m{\rho_{\text{víz}}}$, ahol $m$ a medve tömege, ha a medve a tábla tömegközéppontja felett áll. Ha a tábla szélén áll, a jégfelszín körlapjának egy pontja éppen érinti a vízfelszínt. A további | + | <wlatex>A jégtábla legkisebb lehetséges térfogata $V=10\frac m{\rho_{\text{víz}}}$, ahol $m$ a medve tömege, ha a medve a tábla tömegközéppontja felett áll. A jégtábla sugara $R=1,127\,\rm m$, tömege pedig $m_{\text{jég}}= 2700\,\rm{kg}$. Ha a tábla szélén áll, a jégfelszín körlapjának egy pontja éppen érinti a vízfelszínt, és a körlap vízszintessel bezárt szögét jelöljük $\alpha$-val. [[Kép:Kfgy1-5-14m.svg|none|350px]] A rajz alapján a bemerülő rész mélysége $h=R(1-\sin\alpha)$, a medve és a felhajtóerő hatásvonalának távolsága $r=R\cos\alpha$. A jégtábla nehézségi ereje a félgömb tömegközéppontjában támad, ennek távolsága a görbületi középpontól (mely a teljes gömb közepe lenne) integrálással határozható meg: $z=\frac 38 R$, így az erő hatásvonalának távolsága a feljhatóerőétől $d=\frac 38 R\sin\alpha$. Szükség van még a bemerülő rész térfogatára, amely a matekkönyvek szerint $$V_{\rm{be}}=(3r^2+h^2)\frac{h\pi}{6},$$ illetve félgömb teljes térfogatára. Az eddigieket felhasználva most már fel lehet írni az erők egyensúlyát: $$\rho_{\rm{v}}V_{\rm{be}}g=mg+\rho_{\rm{v}}0,9\left(\frac 23R^3\pi\right)g,$$ valamint a görbületi középpontra vonatkoztatva a forgatónyomatétok egyensúlyát: $$mgR\cos\alpha=0,9\rho_{\rm{v}}\left(\frac 23R^3\pi\right)gR\frac 38\sin\alpha.$$ Ez a két egyenlet elvileg megoldható az $R$ és $\alpha$ ismeretlenekre, azonban a megoldás nem végezhető el teljesen elemi úton. A nyomatéki egyenletből kifejezhető a medve tömege a többi paraméterrel, és behelyettesíthető az erőegyenletbe, így az $R$ változó kiejthető. A megmaradt egyenlet $\alpha$-ra csak numerikusan oldható meg, ennek eredménye $\alpha=3,12^{\rm o }$ vagy $0,0545$ radián. Mivel ez a szög kicsi, egyben a tangensének is vehető, ennél kell nagyobb vagy egyenlőnek lennie a súrlódási együtthatónak. A megoldás további eredményei: $R=1,981\,\rm m$, $V_{\text{jég}}=16,28\,\rm{m^3}$, $V_{\rm{be}}=14,938\,\rm{m^3}$, valamint $m_{\text{jég}}=14652\,\rm{kg}$, amely $5,43$-szorosa a korábbi esetének, amikor a medve középen marad.</wlatex> |
</noinclude> | </noinclude> |
A lap 2015. október 28., 16:11-kori változata
Navigáció Pt·1·2·3 |
---|
Kísérleti fizika gyakorlat 1. |
Gyakorlatok listája: |
Mechanika - Rugalmasság, folyadékok |
Feladatok listája: |
© 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064 |
Feladat
- (**5.14.) Legalább mekkora (m, V, vagy R) félgömb alakú "jégtábla" képes stabilan megtartani egy 300 kg-os jegesmedvét, ha az a tábla körlapjának közepén áll? Legalább mekkora kell legyen a jégtábla, ha a medve szeretne kisétálni a szélére anélkül, hogy víz érné?Legalább mekkora kell legyen a tapadási súrlódási együttható, hogy még ekkor se csússzon meg a tábla felszínén? (
)
Megoldás
A jégtábla legkisebb lehetséges térfogata![\setbox0\hbox{$V=10\frac m{\rho_{\text{víz}}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/e/e/b/eeb928bf155548ca2342cf9d09c07f6a.png)
![\setbox0\hbox{$m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/d/a/7/da73a6d026c6c49e20c7119ed3f876bf.png)
![\setbox0\hbox{$R=1,127\,\rm m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/9/0/8/908cb0d3396d74b32c67c305055a95f9.png)
![\setbox0\hbox{$m_{\text{jég}}= 2700\,\rm{kg}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/7/e/b/7ebe56897b759eda6da2261a70877fbc.png)
![\setbox0\hbox{$\alpha$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/2/3/f/23f0b749a0ea73b9770fba42c4cb44a7.png)
![\setbox0\hbox{$h=R(1-\sin\alpha)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/5/7/1/571332d68f3ee6fa2ef1a68d594c5354.png)
![\setbox0\hbox{$r=R\cos\alpha$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/d/e/2/de258c3f7d6ea2fa47837c762800ea5e.png)
![\setbox0\hbox{$z=\frac 38 R$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/5/7/3/573728d983f069995d05b740ccb87b1a.png)
![\setbox0\hbox{$d=\frac 38 R\sin\alpha$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/4/f/2/4f2ff323550e05c5730ffdca30119b27.png)
![\[V_{\rm{be}}=(3r^2+h^2)\frac{h\pi}{6},\]](/images/math/b/0/8/b08788df965e7b3522fec51ddfee164e.png)
![\[\rho_{\rm{v}}V_{\rm{be}}g=mg+\rho_{\rm{v}}0,9\left(\frac 23R^3\pi\right)g,\]](/images/math/3/c/2/3c295667f02593203978fb98d650e06f.png)
![\[mgR\cos\alpha=0,9\rho_{\rm{v}}\left(\frac 23R^3\pi\right)gR\frac 38\sin\alpha.\]](/images/math/0/c/f/0cfcb81273dde317bb1069046905d138.png)
![\setbox0\hbox{$R$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/5/4/1/54103a3e809f16494f5ad6fa64c39bf2.png)
![\setbox0\hbox{$\alpha$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/2/3/f/23f0b749a0ea73b9770fba42c4cb44a7.png)
![\setbox0\hbox{$R$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/5/4/1/54103a3e809f16494f5ad6fa64c39bf2.png)
![\setbox0\hbox{$\alpha$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/2/3/f/23f0b749a0ea73b9770fba42c4cb44a7.png)
![\setbox0\hbox{$\alpha=3,12^{\rm o }$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/c/4/5/c4597c4f78109c188821bc81328fee14.png)
![\setbox0\hbox{$0,0545$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/a/4/6/a463df8848fa8a97fa7b96eb9e5ac7a6.png)
![\setbox0\hbox{$R=1,981\,\rm m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/b/8/7/b876db3ac815249bd921ebd9de72cbed.png)
![\setbox0\hbox{$V_{\text{jég}}=16,28\,\rm{m^3}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/1/9/7/197737b0a68ac61d48838e987863ffe2.png)
![\setbox0\hbox{$V_{\rm{be}}=14,938\,\rm{m^3}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/a/6/7/a67c8b08c3b31320e8d4f1982040d768.png)
![\setbox0\hbox{$m_{\text{jég}}=14652\,\rm{kg}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/1/c/2/1c2dccc1c05dfb7b5b83408d219a4900.png)
![\setbox0\hbox{$5,43$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/2/a/1/2a1469254373ff07cc41736914ce1f82.png)