„Mechanika - Fémhuzal önsúllyal” változatai közötti eltérés

}}

}}

== Feladat ==

== Feladat ==

#: a) Mennyivel változik meg a huzal hossza?  

#: a) Mennyivel változik meg a huzal hossza?  

#: b) Mennyi lesz a megnyúlás, ha a huzal alsó végére egy m tömegű testet akasztunk?</wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=A teljes hosszváltozást úgy kaphatjuk meg, hogy a huzal kis szakaszainak hosszváltozását összegezzük fel.}}{{Végeredmény|content=$$\Delta l=\frac{\rho l_0^2g}{2E}$$ $$\Delta l_2=\Delta l+\frac{mg}{EA}l_0$$}}</wlatex></includeonly><noinclude>

#: b) Mennyi lesz a megnyúlás, ha a huzal alsó végére egy m tömegű testet akasztunk?</wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=A teljes hosszváltozást úgy kaphatjuk meg, hogy a huzal kis szakaszainak hosszváltozását összegezzük fel.}}{{Végeredmény|content=$$\Delta l=\frac{\rho l_0^2g}{2E}$$ $$\Delta l_2=\Delta l+\frac{mg}{EA}l_0$$}}</wlatex></includeonly><noinclude>

== Megoldás ==

== Megoldás ==

<wlatex>A huzal hosszváltozását az önsúlya idézi elő lelógatott állapotában. Feltesszük, hogy a $g$ nehézségi gyorulás a huzal mentén állandó. A teljes hosszváltozást úgy kaphatjuk meg, hogy a huzal kis szakaszainak hosszváltozását összegezzük fel. A kis szakaszok (relatív) megnyúlása a huzal mentén változik a szintén változó feszültségi állapot miatt. A huzal aljától $x$ távolságra található $\text{d}x$ hosszúságú szakasz feszültsége $\sigma(x)=\rho x g,$ amely a Hooke-törvény szerint $E\frac{\Delta(\text{d}x}{\text{d}x}$-vel is egyenlő, ahol a számláló a kis szakasz megnyúlása. Ezt kifejezve $\Delta(\text{d}x)=\frac{\rho x g}E \text{d}x$, mely a huzal teljes (eredeti) hosszára integrálva adja a teljes megnyúlást: $$\Delta l=\int_0^{l_0}\Delta(\text{d}x)=\int_0^{l_0}\frac{\rho x g}E\text{d}x=\frac{\rho l_0^2g}{2E}$$ Ha további $m$ tömeget akasztunk a huzal végére, a feszültség kifejezésében egy plusz $\frac{mg}A$ tag jelenik meg, így végül a teljes megnyúlás $$\Delta l_2=\Delta l+\frac{mg}{EA}l_0$$</wlatex>

<wlatex>A huzal hosszváltozását az önsúlya idézi elő lelógatott állapotában. Feltesszük, hogy a $g$ nehézségi gyorulás a huzal mentén állandó. A teljes hosszváltozást úgy kaphatjuk meg, hogy a huzal kis szakaszainak hosszváltozását összegezzük fel. A kis szakaszok (relatív) megnyúlása a huzal mentén változik a szintén változó feszültségi állapot miatt. A huzal aljától $x$ távolságra található $\text{d}x$ hosszúságú szakasz feszültsége $\sigma(x)=\rho x g,$ amely a Hooke-törvény szerint $E\frac{\Delta(\text{d}x}{\text{d}x}$-vel is egyenlő, ahol a számláló a kis szakasz megnyúlása. Ezt kifejezve $\Delta(\text{d}x)=\frac{\rho x g}E \text{d}x$, mely a huzal teljes (eredeti) hosszára integrálva adja a teljes megnyúlást: $$\Delta l=\int_0^{l_0}\Delta(\text{d}x)=\int_0^{l_0}\frac{\rho x g}E\text{d}x=\frac{\rho l_0^2g}{2E}$$ Ha további $m$ tömeget akasztunk a huzal végére, a feszültség kifejezésében egy plusz $\frac{mg}A$ tag jelenik meg, így végül a teljes megnyúlás $$\Delta l_2=\Delta l+\frac{mg}{EA}l_0$$</wlatex>

</noinclude>

</noinclude>