„Deriválás - Hiperbolikus függvények” változatai közötti eltérés
A Fizipedia wikiből
| 7. sor: | 7. sor: | ||
}} | }} | ||
== Feladat == | == Feladat == | ||
| − | </noinclude><wlatex># A hiperbolikus függvényeket a következőképpen definiáljuk. $$\mbox{ch}\,x=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}\qquad\qquad \mbox{sh}\,x= \frac{e^{x}-e^{-x}}{2} | + | </noinclude><wlatex># A hiperbolikus függvényeket a következőképpen definiáljuk. $$\mbox{ch}\,x=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}\qquad\qquad \mbox{sh}\,x= \frac{e^{x}-e^{-x}}{2}$$$$ \mbox{th}\,x=\frac{\mbox{sh}\, x}{\mbox{ch}\, x}\qquad\qquad \mbox{cth}\,x=\frac{\mbox{ch}\,x}{\mbox{sh}\,x}$$ |
#: a) Igazoljuk, hogy $\mbox{ch}^{2}\,x-\mbox{sh}^{2}\,x=1$! | #: a) Igazoljuk, hogy $\mbox{ch}^{2}\,x-\mbox{sh}^{2}\,x=1$! | ||
#: b) Számoljuk ki a hiperbolikus függvények deriváltjait! | #: b) Számoljuk ki a hiperbolikus függvények deriváltjait! | ||
A lap 2013. április 8., 21:54-kori változata
| Navigáció Pt·1·2·3 |
|---|
| Kísérleti fizika gyakorlat 1. |
| Gyakorlatok listája: |
| Deriválás |
| Feladatok listája: |
| © 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064 |
Feladat
- A hiperbolikus függvényeket a következőképpen definiáljuk.
![\[\mbox{ch}\,x=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}\qquad\qquad \mbox{sh}\,x= \frac{e^{x}-e^{-x}}{2}\]](/images/math/a/d/6/ad651729e8471ab10f0e30a4a38f0457.png)
![\[ \mbox{th}\,x=\frac{\mbox{sh}\, x}{\mbox{ch}\, x}\qquad\qquad \mbox{cth}\,x=\frac{\mbox{ch}\,x}{\mbox{sh}\,x}\]](/images/math/d/0/1/d017e47634babca44f1bdf1bf52ed28d.png)
- a) Igazoljuk, hogy
!
- b) Számoljuk ki a hiperbolikus függvények deriváltjait!
- c) Határozzuk meg a
függvény inverzét és annak deriváltját.
- a) Igazoljuk, hogy
Megoldás
- a) A hiperbolikus függvények definícióját behelyettesítve az állítás könnyedén igazolható.
- b)
![\[\frac{d}{dx}\mbox{ch}\,x=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}=\mbox{sh}\,x\qquad\qquad \frac{d}{dx}\mbox{sh}\,x=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}=\mbox{ch}\,x\]](/images/math/a/c/f/acf9d2f7931271b4c115b87bb1b03e60.png)
![\[\frac{d}{dx}\mbox{th}\,x=\frac{1}{\mbox{ch}^{2}\,x}\qquad\qquad \frac{d}{dx}\mbox{cth}\,x=-\frac{1}{\mbox{sh}^{2}\,x}\]](/images/math/5/7/0/570b5e1a5336736e574f599f01308042.png)
- c) A függvény inverzét
-val jelöljük. ![\[\mbox{arcch}\,x=y(x)\]](/images/math/c/5/1/c51b20f0ea9331b5b3503ec05638768f.png)
![\[x=\mbox{ch}\, y\]](/images/math/e/4/4/e44635f7037bd8ffa9dbab6539501a2e.png)
![\[x=\frac{e^{y}+e^{-y}}{2}\]](/images/math/9/4/5/94566b2f3b643adb5d6d5a73c2e8b56d.png)
![\[e^{2y}-2xe^{y}+1=0\]](/images/math/5/d/6/5d6080e5779c19319074073c7d810dd6.png)
A két megoldás közül az egyik![\[e^{y}=x\pm \sqrt{x^{2}-1}\]](/images/math/5/c/e/5ceae14a29e6f6a70b53b426d31d10b7.png)
-nak, a másik pedig 
-nak felel meg. Konvencionálisan a 
el\H ojelet tekintjük az 
függvényben. ![\[e^{y}=x+ \sqrt{x^{2}-1}\]](/images/math/9/5/4/9545e792fdbd5ba5040c96ca7c289681.png)
![\[y=\ln\left(x+ \sqrt{x^{2}-1}\right)\]](/images/math/7/0/d/70df02ffaa30f6803bd61a55a9944595.png)
A deriváltja![\[\mbox{arcch}\,x=\ln\left(x+ \sqrt{x^{2}-1}\right)\]](/images/math/d/2/9/d29839c38c342f7cac32be4e509f8d95.png)
![\[\frac{d}{dx}\mbox{arcch}\,x=\frac{1}{\mbox{sh}(\mbox{arcsin}\,x)}=\frac{1}{\sqrt{x^{2}-1}}\,.\]](/images/math/b/a/c/bac64e65b1a10343c43876d7125b1d91.png)
