„Erőtan II. - 4.13” változatai közötti eltérés
A Fizipedia wikiből
(Új oldal, tartalma: „<noinclude> Kategória:Kísérleti fizika gyakorlat 1. Kategória:Szerkesztő: Bácsi Ádám Kategória:Mechanika - Erőtan II. {{Kísérleti fizika gyakorlat …”) |
|||
8. sor: | 8. sor: | ||
}} | }} | ||
== Feladat == | == Feladat == | ||
− | </noinclude><wlatex># Egy liftben $D$ direkciós erejű rugóra erősítve egy $m$ tömegű testet függesztünk fel. A test a $t<0$ időpontokban nyugalomban van. A lift a $t=0$ időpontban $a_{0}$ gyorsulással emelkedni kezd. (4.13. ábra) $D=5 \,\mathrm{\frac{N}{m}}$, $m=0,2 \,\mathrm{kg}$, $a_{0}=2 \,\mathrm{\frac{m}{s^2}}$. | + | </noinclude><wlatex># ÁBRA Egy liftben $D$ direkciós erejű rugóra erősítve egy $m$ tömegű testet függesztünk fel. A test a $t<0$ időpontokban nyugalomban van. A lift a $t=0$ időpontban $a_{0}$ gyorsulással emelkedni kezd. (4.13. ábra) $D=5 \,\mathrm{\frac{N}{m}}$, $m=0,2 \,\mathrm{kg}$, $a_{0}=2 \,\mathrm{\frac{m}{s^2}}$. |
#: a) Milyennek észleli a test mozgását a liftbeli megfigyelő? | #: a) Milyennek észleli a test mozgását a liftbeli megfigyelő? | ||
#: b) Külön ábrán jelölje be az m tömegű testre - a gyorsuló lift koordinátarendszerében - ható erőket, és írja fel a test mozgásegyenletét az ábrán bejelölt (lifthez rögzített) koordinátarendszerben! | #: b) Külön ábrán jelölje be az m tömegű testre - a gyorsuló lift koordinátarendszerében - ható erőket, és írja fel a test mozgásegyenletét az ábrán bejelölt (lifthez rögzített) koordinátarendszerben! | ||
15. sor: | 15. sor: | ||
== Megoldás == | == Megoldás == | ||
<wlatex>#: a) A gyorsulás hatására a lifthez rögzített vonatkoztatási rendszerben a testre hat egy függőleges irányú és $F_{t}=ma_{0}$ nagyságú tehetetlenségi erő. Ennek hatására a test a rugón rezegni kezd. | <wlatex>#: a) A gyorsulás hatására a lifthez rögzített vonatkoztatási rendszerben a testre hat egy függőleges irányú és $F_{t}=ma_{0}$ nagyságú tehetetlenségi erő. Ennek hatására a test a rugón rezegni kezd. | ||
− | #: b) | + | #: b) A mozgásegyenlet a lift koordináta-rendszerében $$m\ddot{y}=D\Delta l-mg-F_{t}\,,$$ ahol a rugó megnyúlása $\Delta l=\Delta l_{0}-y$ szerint függ össze a test helyzetével. Az egyensúlyi helyzetben ($t<0$) a megnyúlás $\Delta l_{0}=\frac{mg}{D}$ volt. Így a mozgásegyenlet $$m\ddot{y}=-Dy-ma_{0}\,.$$ |
− | + | ||
− | A mozgásegyenlet $$m\ddot{y}=D\Delta l-mg-F_{t}\,,$$ ahol a rugó megnyúlása $\Delta l=\Delta l_{0}-y$ szerint függ össze a test helyzetével. Az egyensúlyi helyzetben ($t<0$) a megnyúlás $\Delta l_{0}=\frac{mg}{D}$ volt. Így a mozgásegyenlet $$m\ddot{y}=-Dy-ma_{0}\,.$$ | + | |
#: c) | #: c) | ||
A mozgásegyenlet egy differenciál egyenlet, melyet az $y(0)=0$ és $\dot{y}(0)=0$ kezdeti feltételek mellett kell megoldani. $$\ddot{y}+\omega^{2}(y-y_{0})=0\qquad \omega=\sqrt{\frac{D}{m}}=5\frac{1}{\,\mathrm{s}}\qquad y_{0}=-\frac{ma_{0}}{D}=-0,08\,\mathrm{m}$$ A $\Delta y=y-y_{0}$-ra vonatkozó $\Delta\ddot{y}+\omega^{2}\Delta y=0$ differenciálegyenlet két független megoldása $\sin(\omega t)$ és $\cos(\omega t)$, így $$y(t)=y_{0}+A\sin(\omega t)+B\cos(\omega t)\,,$$ ahol az $A$ és $B$ paramétereket a kezdeti feltételek segítségével kell maghatározni. $$0=y(0)=y_{0}+B\qquad\Rightarrow\qquad B=-y_{0}$$ $$0=\dot{y}(0)=A\omega\qquad\Rightarrow \qquad A=0$$ Így $$y(t)=y_{0}(1-\cos(\omega t))\,.$$ | A mozgásegyenlet egy differenciál egyenlet, melyet az $y(0)=0$ és $\dot{y}(0)=0$ kezdeti feltételek mellett kell megoldani. $$\ddot{y}+\omega^{2}(y-y_{0})=0\qquad \omega=\sqrt{\frac{D}{m}}=5\frac{1}{\,\mathrm{s}}\qquad y_{0}=-\frac{ma_{0}}{D}=-0,08\,\mathrm{m}$$ A $\Delta y=y-y_{0}$-ra vonatkozó $\Delta\ddot{y}+\omega^{2}\Delta y=0$ differenciálegyenlet két független megoldása $\sin(\omega t)$ és $\cos(\omega t)$, így $$y(t)=y_{0}+A\sin(\omega t)+B\cos(\omega t)\,,$$ ahol az $A$ és $B$ paramétereket a kezdeti feltételek segítségével kell maghatározni. $$0=y(0)=y_{0}+B\qquad\Rightarrow\qquad B=-y_{0}$$ $$0=\dot{y}(0)=A\omega\qquad\Rightarrow \qquad A=0$$ Így $$y(t)=y_{0}(1-\cos(\omega t))\,.$$ | ||
</wlatex> | </wlatex> | ||
</noinclude> | </noinclude> |
A lap 2013. április 22., 20:39-kori változata
Navigáció Pt·1·2·3 |
---|
Kísérleti fizika gyakorlat 1. |
Gyakorlatok listája: |
Mechanika - Erőtan II. |
Feladatok listája: |
© 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064 |
Feladat
- ÁBRA Egy liftben
direkciós erejű rugóra erősítve egy
tömegű testet függesztünk fel. A test a
időpontokban nyugalomban van. A lift a
időpontban
gyorsulással emelkedni kezd. (4.13. ábra)
,
,
.
- a) Milyennek észleli a test mozgását a liftbeli megfigyelő?
- b) Külön ábrán jelölje be az m tömegű testre - a gyorsuló lift koordinátarendszerében - ható erőket, és írja fel a test mozgásegyenletét az ábrán bejelölt (lifthez rögzített) koordinátarendszerben!
- c) Határozza meg a test mozgását jellemző
függvényt, ha a test az ábra szerinti
koordinátájú pontban történő elhelyezkedése a
időpontokban fennálló egyensúlyi állapotra érvényes! (Az
függvény jellemző mennyiségeit számszerűen adja meg!)
Megoldás
- a) A gyorsulás hatására a lifthez rögzített vonatkoztatási rendszerben a testre hat egy függőleges irányú és
nagyságú tehetetlenségi erő. Ennek hatására a test a rugón rezegni kezd.
- b) A mozgásegyenlet a lift koordináta-rendszerében ahol a rugó megnyúlása
szerint függ össze a test helyzetével. Az egyensúlyi helyzetben (
) a megnyúlás
volt. Így a mozgásegyenlet
- c)
- a) A gyorsulás hatására a lifthez rögzített vonatkoztatási rendszerben a testre hat egy függőleges irányú és
![\setbox0\hbox{$y(0)=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/3/1/c/31c5dc9b6098ee469913d4b6d8048e56.png)
![\setbox0\hbox{$\dot{y}(0)=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/a/e/9/ae9caafbafea54ca12d6755b7cfe2744.png)
![\[\ddot{y}+\omega^{2}(y-y_{0})=0\qquad \omega=\sqrt{\frac{D}{m}}=5\frac{1}{\,\mathrm{s}}\qquad y_{0}=-\frac{ma_{0}}{D}=-0,08\,\mathrm{m}\]](/images/math/2/a/3/2a3e6fd304215d2a14978bc5ea989cef.png)
![\setbox0\hbox{$\Delta y=y-y_{0}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/1/4/9/1493d1cfa389a39f0ecf75a875806793.png)
![\setbox0\hbox{$\Delta\ddot{y}+\omega^{2}\Delta y=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/0/6/c/06c5c486d3ceb592b7de91e65d285a68.png)
![\setbox0\hbox{$\sin(\omega t)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/d/e/9/de9dae3a8753f02c26c2e0fc953809f9.png)
![\setbox0\hbox{$\cos(\omega t)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/d/a/3/da3908882b37fdd421b8ee6a6c8faad1.png)
![\[y(t)=y_{0}+A\sin(\omega t)+B\cos(\omega t)\,,\]](/images/math/c/e/a/cea66346fc0a7a38157c411f1be38dbf.png)
![\setbox0\hbox{$A$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/5/7/a/57a2c9f38127445431924aab3d951e55.png)
![\setbox0\hbox{$B$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/c/f/5/cf59e6da253817ea0bde46c5a9e73ea8.png)
![\[0=y(0)=y_{0}+B\qquad\Rightarrow\qquad B=-y_{0}\]](/images/math/2/2/6/2262fc0bbf4016c545f96aaf7e0434a6.png)
![\[0=\dot{y}(0)=A\omega\qquad\Rightarrow \qquad A=0\]](/images/math/3/b/6/3b6564df8fcc98b5eede1e87d80f8905.png)
![\[y(t)=y_{0}(1-\cos(\omega t))\,.\]](/images/math/9/2/5/925b4cce2bb2f478743e0c7b34da2fa0.png)