„Deriválás - Egyszerű deriváltak” változatai közötti eltérés

A Fizipedia wikiből
 
4. sor: 4. sor:
 
{{Kísérleti fizika gyakorlat
 
{{Kísérleti fizika gyakorlat
 
| tárgynév    = Kísérleti fizika gyakorlat 1.
 
| tárgynév    = Kísérleti fizika gyakorlat 1.
−
| témakör    = Integrálás
+
| témakör    = Deriválás
 
}}
 
}}
 
== Feladat ==
 
== Feladat ==

A lap jelenlegi, 2013. szeptember 10., 19:21-kori változata

Navigáció Pt·1·2·3
Kísérleti fizika gyakorlat 1.
Gyakorlatok listája:
  1. Deriválás
  2. Integrálás
  3. Mozgástan
  4. Erőtan I.
  5. Erőtan II.
  6. Munka, energia
  7. Pontrendszerek
  8. Merev testek I.
  9. Merev testek II.
  10. Rugalmasság, folyadékok
  11. Rezgések I.
  12. Rezgések II.
  13. Hullámok
Deriválás
Feladatok listája:
  1. Alapműveletek vektorokkal
  2. Vektorok felbontása
  3. Egyszerű deriváltak
  4. Inverz függvény deriváltja
  5. Hiperbolikus függvények
  6. Szélsőértékek
  7. Egyvátozós vektorfüggvény
© 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064

Feladat

  1. Határozzuk meg az alábbi függvények első deriváltját! Az f) feladatrészben a második deriváltat is számoljuk ki!
    a) \setbox0\hbox{$f(x)=x^{2}+3x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%
    b) \setbox0\hbox{$x(t)=x_{0}\cos(\omega t)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%
    c) \setbox0\hbox{$A(\omega)=\frac{\omega}{1+(\tau\omega)^{2}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%
    d) \setbox0\hbox{$h(x)=\sin\left[\ln\left(\cos(3x)\right)\right]$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%
    e) \setbox0\hbox{$g(x)=\ln\left(e^{\sin x}+x\right)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%
    f) \setbox0\hbox{$y(t)=Ae^{-\lambda t}\cos(\omega t-\varphi)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%

Megoldás

  1. a)
    \[\frac{df}{dx}=2x+3\]
    b)
    \[\frac{dx}{dt}=-x_{0}\omega\sin(\omega t)\]
    c)
    \[\frac{dA}{d\omega}=\frac{1+(\tau\omega)^{2}-\omega\cdot 2\tau^{2}\omega}{\left(1+(\tau\omega)^{2}\right)^{2}}=\frac{1-(\tau\omega)^{2}}{\left(1+(\tau\omega)^{2}\right)^{2}}\]
    d)
    \[\frac{dh}{dx}=\cos\left[\ln\left(\cos(3x)\right)\right]\cdot\frac{d}{dx}\left[\ln\left(\cos(3x)\right)\right]=\cos\left[\ln\left(\cos(3x)\right)\right]\frac{1}{\cos(3x)}\cdot\frac{d}{dx}\cos(3x)=\]
    \[=-3\,\mbox{tg}\,(3x)\cos\left[\ln\left(\cos(3x)\right)\right]\]
    e)
    \[\frac{dg}{dx}=\frac{e^{\sin x}\cos x+1}{e^{\sin x}+x}\]
    f)
    \[\dot{y}=\frac{dy}{dt}=-Ae^{-\lambda t}\left[\lambda\cos(\omega t-\varphi)+\omega\sin(\omega t-\varphi)\right]\]
    \[\ddot{y}=\frac{d^{2}y}{dt^{2}}=Ae^{-\lambda t}\left[(\lambda^{2}-\omega^{2})\cos(\omega t-\varphi)+2\lambda\omega\sin(\omega t-\varphi)\right]\]
    Könnyen belátható, hogy
    \[\ddot{y}+2\lambda\dot{y}+(\omega^{2}+\lambda^{2})y=0\,.\]
A lap eredeti címe: „https://fizipedia.bme.hu/index.php?title=Deriválás_-_Egyszerű_deriváltak&oldid=12073”