„Deriválás - Szélsőértékek” változatai közötti eltérés

A Fizipedia wikiből
12. sor: 12. sor:
 
#: Hol vannak a függvény lokalás szélsőértékei, és azok milyenek?</wlatex><includeonly></includeonly><noinclude>
 
#: Hol vannak a függvény lokalás szélsőértékei, és azok milyenek?</wlatex><includeonly></includeonly><noinclude>
 
== Megoldás ==
 
== Megoldás ==
−
<wlatex>#: a) $$ 3\mathbf{v}_{1}-2\mathbf{v}_{2}= 3 \left[\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ -1 \end{array}\right]-
+
<wlatex>#: Határozzuk meg a függvény első deriváltját!
−
2 \left[\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right]= \left[\begin{array}{c} 3 \\ 6 \\ -3 \end{array}\right]-
+
#: $$f'(x) = 6 x^2 - 6 x - 36$$
−
\left[\begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ 2 \end{array}\right]= \left[\begin{array}{c} 3 \\ 4 \\ -5 \end{array}\right]$$
+
#: Egy lokális szélsőértéknél ez nulla kell legyen. Megoldva a másodfokú egyenletet:
−
#: b) $$|\mathbf{v}_{1}|^{2}=1^{2}+2^{2}+(-1)^{2}=6\qquad\Rightarrow\qquad |\mathbf{v}_{1}|=\sqrt{6}$$$$|\mathbf{v}_{2}|^{2}=0^{2}+1^{2}+1^{2}=2\qquad\Rightarrow\qquad |\mathbf{v}_{2}|=\sqrt{2}$$
+
#: $$ x_{1,2} = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 4 \cdot 36 \cdot 6}}{12} = \lbrace-2,\; +3 \rbrace$$
−
#: c) Bármely két vektor esetén $$\mathbf{v}_{1}\cdot\mathbf{v}_{2}=|\mathbf{v}_{1}||\mathbf{v}_{2}|\cos\alpha\,,$$ ahol $\cdot$ a vektorok skaláris szorzását jelöli és $\alpha$ a két vektor által bezárt szög. Ebben a feladatban $$\mathbf{v}_{1}\cdot\mathbf{v}_{2}=1\cdot 0+ 2\cdot 1+ -1\cdot 1=1\,,$$ tehát $$1=\sqrt{6}\sqrt{2}\cos\alpha\qquad\Rightarrow\qquad \alpha=73,2\,^{\circ}$$
+
#: Határozzuk meg a második deriváltat!
−
#: d) A $\mathbf{v}_{2}$ vektor irányába mutató egység vektor $$\mathbf{n}_{2}=\frac{\mathbf{v}_{2}}{|\mathbf{v}_{2}|}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right]\,.$$ Ezzel az egységvektorral a $\mathbf{v}_{1}$ vektor $\mathbf{n}_{2}$ irányába mutató komponense $$\mathbf{v}_{12}=\mathbf{n}_{2}(\mathbf{n}_{2}\cdot\mathbf{v}_{1})=\frac{1}{2}\left[\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right]\,.$$</wlatex></noinclude>
+
#: $$f''(x) = 12 x - 6$$
 +
#: Ez az $x = 3$-nál $f''(3) = 30$, pozitív, azaz itt lokális '''minimuma''' van a függvénynek.
 +
#: Az $x = -2$ pontban a második derivált értéke $f''(-2) = -30$, negatív, itt lokális '''maximuma''' van a függvénynek.</wlatex></noinclude>

A lap 2014. szeptember 9., 10:56-kori változata

Navigáció Pt·1·2·3
Kísérleti fizika gyakorlat 1.
Gyakorlatok listája:
  1. Deriválás
  2. Integrálás
  3. Mozgástan
  4. Erőtan I.
  5. Erőtan II.
  6. Munka, energia
  7. Pontrendszerek
  8. Merev testek I.
  9. Merev testek II.
  10. Rugalmasság, folyadékok
  11. Rezgések I.
  12. Rezgések II.
  13. Hullámok
Deriválás
Feladatok listája:
  1. Alapműveletek vektorokkal
  2. Vektorok felbontása
  3. Egyszerű deriváltak
  4. Inverz függvény deriváltja
  5. Hiperbolikus függvények
  6. Szélsőértékek
  7. Egyvátozós vektorfüggvény
© 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064

Feladat


  1. Tekintsük az alábbi, valós számokon értelmezett függvényt:
    \[f(x) = 2 x^3 - 3 x^2 - 36 x + 12\]
    Hol vannak a függvény lokalás szélsőértékei, és azok milyenek?

Megoldás

  1. Határozzuk meg a függvény első deriváltját!
    \[f'(x) = 6 x^2 - 6 x - 36\]
    Egy lokális szélsőértéknél ez nulla kell legyen. Megoldva a másodfokú egyenletet:
    \[ x_{1,2} = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 4 \cdot 36 \cdot 6}}{12} = \lbrace-2,\; +3 \rbrace\]
    Határozzuk meg a második deriváltat!
    \[f''(x) = 12 x - 6\]
    Ez az \setbox0\hbox{$x = 3$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-nál \setbox0\hbox{$f''(3) = 30$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, pozitív, azaz itt lokális minimuma van a függvénynek.
    Az \setbox0\hbox{$x = -2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% pontban a második derivált értéke \setbox0\hbox{$f''(-2) = -30$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, negatív, itt lokális maximuma van a függvénynek.
A lap eredeti címe: „https://fizipedia.bme.hu/index.php?title=Deriválás_-_Szélsőértékek&oldid=14898”