Mechanika - Jegesmedve jégtáblán

Feladat

1. (**5.14.) Legalább mekkora (m, V, vagy R) félgömb alakú "jégtábla" képes stabilan megtartani egy 300 kg-os jegesmedvét, ha az a tábla körlapjának közepén áll? Legalább mekkora kell legyen a jégtábla, ha a medve szeretne kisétálni a szélére anélkül, hogy víz érné?Legalább mekkora kell legyen a tapadási súrlódási együttható, hogy még ekkor se csússzon meg a tábla felszínén? ($\setbox0\hbox{$\rho_{\text{jég}}=0,9\rho_{\text{víz}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$)
   

Megoldás

A jégtábla legkisebb lehetséges térfogata $\setbox0\hbox{$V=10\frac m{\rho_{\text{víz}}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, ahol $\setbox0\hbox{$m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a medve tömege, ha a medve a tábla tömegközéppontja felett áll. A jégtábla sugara $\setbox0\hbox{$R=1,127\,\rm m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, tömege pedig $\setbox0\hbox{$m_{\text{jég}}= 2700\,\rm{kg}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. Ha a tábla szélén áll, a jégfelszín körlapjának egy pontja éppen érinti a vízfelszínt, és a körlap vízszintessel bezárt szögét jelöljük $\setbox0\hbox{$\alpha$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-val.

A rajz alapján a bemerülő rész mélysége $\setbox0\hbox{$h=R(1-\sin\alpha)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, a medve és a felhajtóerő hatásvonalának távolsága $\setbox0\hbox{$r=R\cos\alpha$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. A jégtábla nehézségi ereje a félgömb tömegközéppontjában támad, ennek távolsága a görbületi középpontól (mely a teljes gömb közepe lenne) integrálással határozható meg: $\setbox0\hbox{$z=\frac 38 R$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, így az erő hatásvonalának távolsága a feljhatóerőétől $\setbox0\hbox{$d=\frac 38 R\sin\alpha$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. Szükség van még a bemerülő rész térfogatára, amely a matekkönyvek szerint

$\[V_{\rm{be}}=(3r^2+h^2)\frac{h\pi}{6},\]$

illetve félgömb teljes térfogatára. Az eddigieket felhasználva most már fel lehet írni az erők egyensúlyát:

$\[\rho_{\rm{v}}V_{\rm{be}}g=mg+\rho_{\rm{v}}0,9\left(\frac 23R^3\pi\right)g,\]$

valamint a görbületi középpontra vonatkoztatva a forgatónyomatétok egyensúlyát:

$\[mgR\cos\alpha=0,9\rho_{\rm{v}}\left(\frac 23R^3\pi\right)gR\frac 38\sin\alpha.\]$

Ez a két egyenlet elvileg megoldható az $\setbox0\hbox{$R$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$\alpha$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ ismeretlenekre, azonban a megoldás nem végezhető el teljesen elemi úton. A nyomatéki egyenletből kifejezhető a medve tömege a többi paraméterrel, és behelyettesíthető az erőegyenletbe, így az $\setbox0\hbox{$R$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ változó kiejthető. A megmaradt egyenlet $\setbox0\hbox{$\alpha$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-ra csak numerikusan oldható meg, ennek eredménye $\setbox0\hbox{$\alpha=3,12^{\rm o }$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ vagy $\setbox0\hbox{$0,0545$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ radián. Mivel ez a szög kicsi, egyben a tangensének is vehető, ennél kell nagyobb vagy egyenlőnek lennie a súrlódási együtthatónak. A megoldás további eredményei: $\setbox0\hbox{$R=1,981\,\rm m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, $\setbox0\hbox{$V_{\text{jég}}=16,28\,\rm{m^3}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, $\setbox0\hbox{$V_{\rm{be}}=14,938\,\rm{m^3}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, valamint $\setbox0\hbox{$m_{\text{jég}}=14652\,\rm{kg}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, amely $\setbox0\hbox{$5,43$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-szorosa a korábbi esetének, amikor a medve középen marad.