Erőtan II. - 4.4

Feladat

1. (4.4) Egy $\setbox0\hbox{$l$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hosszúságú, $\setbox0\hbox{$m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tömegű matematikai ingát mérlegre állítunk. Ha az inga legnagyobb kitérésekor a függőlegessel bezárt szöge $\setbox0\hbox{$\varphi_{0}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, számítsuk ki, mekkora az inga súlya abban a pillanatban, amikor a függőlegessel bezárt szöge $\setbox0\hbox{$\varphi$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$.

Megoldás

1. Az test sebessége egy adott $\setbox0\hbox{$\varphi$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ kitérés esetén energetikai megfontolásokkal adható meg.

   $\[mgl(1-\cos\varphi_{0})=mgl(1-\cos\varphi)+\frac{1}{2}mv(\varphi)^{2}\]$

   Egy adott $\setbox0\hbox{$\varphi$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ szögnél a testre kötél irányban ható erők a kötélerő és a gravitációs erő kötéllel párhuzamos komponense, melynek nagysága $\setbox0\hbox{$F_{g}\cos\varphi$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. A két erő eredőjének kell a centripetális erő szerepét játszania, vagyis

   $\[m\frac{v(\varphi)^{2}}{l}=K-mg\cos\varphi\]$

   Behelyettesítve a sebesség korábban kapott formulájával

   $\[K=mg\big(3\cos\varphi-2\cos\varphi_{0}\big)\,.\]$

   Az ingát tartó szerkezetre a kötélerő ellenereje hat, illetve a mérleg tartja. A $\setbox0\hbox{$K$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ kötélerő vízszintes komponensét a mérleg és a tartó szerkezet közti tapadási erő egyenlíti ki, míg a függőleges komponensét a nyomóerő, mely megegyezik a mérlegre ható súlyerővel.

   $\[G=N=K\cos\varphi=mg\cos\varphi\big(3\cos\varphi-2\cos\varphi_{0}\big)\]$