Mechanika - Tengerbe lógatott drótkötél

Feladat

1. (5.1.) Egy hajóról a $\setbox0\hbox{$<rho_v=1,03\,\rm g/\rm{cm}^3$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sűrűségű tengerbe lógatnak függőlegesen egy $\setbox0\hbox{$L=9\,\rm{km}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hosszú drótkötelet (keresztmetszete $\setbox0\hbox{$A=1\,\rm{cm}^2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, sűrűsége $\setbox0\hbox{$\rho=7,8\,\rm g/\rm{cm}^3$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, szakítószilárdsága $\setbox0\hbox{$\sigma_{sz}=2\cdot10^3\,\rm N/\rm{mm}^2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$). Elszakad-e a kötél?

Megoldás

A tengerszint alatt $\setbox0\hbox{$x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ mélységben $\setbox0\hbox{$l=L-x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hosszúságú kötéldarab súlya feszíti a kötelet. A felhajtóerő a kötél aljánál ébred, és $\setbox0\hbox{$F_f=AL\rho_vg$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ Az eredő feszítő erő $\setbox0\hbox{$x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ mélységben tehát

$\[F(x)=Al\rho g-AL\rho_v g,\]$

amely $\setbox0\hbox{$x=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-nál maximális

$\[F(0)=AL(\rho-\rho_v)g,\]$

és ott a feszültség

$\[\sigma=L(\rho-\rho_v)g=0,6\cdot10^9\,\frac{\rm N}{\rm m^2},\]$

amely kisebb a szakítószilárdságnál, tehát a kötél nem szakad el.