Erőtan II. - 4.2

Feladat

1. (*4.2) Egy egyenletes sebességgel mozgó kocsin egyensúlyi helyzetben áll egy $\setbox0\hbox{$m=2\,\mathrm{kg}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tömegű matematikai inga. A fonál szakító szilárdsága $\setbox0\hbox{$F_{max}=30\,\mathrm{N}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. A kocsit hirtelen gyorsítani kezdjük. Mi történik az ingával? Mekkora (időben állandó) gyorsulást adhatunk a kocsinak, hogy a fonál még éppen ne szakadjon el?

Megoldás

1. A gyorsítás hatására a kocsihoz rögzített vonatkoztatási rendszerben egy vízszintes irányú, $\setbox0\hbox{$F_{t}=ma_{0}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ nagyságú tehetetlenségi erő is hat az ingára. Így a kezdeti időpillanatban az eredő erő nem zérus, az inga nincs egyensúlyban, tehát elkezd lengeni. A lengés során akkor a legnagyobb a kötelet feszítő erő ($\setbox0\hbox{$K$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$), amikor az inga áthalad a ferde egyensúlyi helyzetén, továbbá azt is tudjuk, hogy a lengés egyik szélső helyzete a függőleges, mivel abból kezdősebesség nélkül indult (a kocsi rendszeréből megfigyelve). Bevezetve és először azt keresve a $\setbox0\hbox{$g^*=\sqrt{g^2+a_0^2}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ effektív és ferdén ható nehézségi gyorsulást írhatjuk az egyensúlyi helyzetben, hogy $\setbox0\hbox{$\frac 12 mv^2=mg^*(l-l\cos\varphi)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, ahol $\setbox0\hbox{$\cos\varphi=\frac{g}{g^*}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. Másrészt a radiális mozgásegyenlet

   $\[K-mg^*=m\frac{v^2}{l}.\]$

   Ebből a három egyenletből $\setbox0\hbox{$g^*=11,66\,\rm{m/s}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, vagyis a maximális gyorsítás

   $\[a_{0max}=\sqrt{g^{*2}-g^{2}}=6,08\,\rm{m/s}\]$

   lehet.