Deriválás - Vektorok felbontása

Feladat

1. Adottak az alábbi vektorok.

   $\[\mathbf{v}_{1}=\left[\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ -1 \end{array}\right]\qquad\qquad\mathbf{v}_{2}=\left[\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right]\]$

   a) Határozzuk meg az $\setbox0\hbox{$3\mathbf{v}_{1}-2\mathbf{v}_{2}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ vektort!

   b) Mekkora a vektorok normája (nagysága)?

   c) Mekkora szöget zár be a két vektor?

   d) Adjuk meg a $\setbox0\hbox{$\mathbf{v}_{1}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ vektor $\setbox0\hbox{$\mathbf{v}_{2}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ irányába eső komponensét!

Megoldás

1. a)

   $\[ 3\mathbf{v}_{1}-2\mathbf{v}_{2}= 3 \left[\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ -1 \end{array}\right]- 2 \left[\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right]= \left[\begin{array}{c} 3 \\ 6 \\ -3 \end{array}\right]- \left[\begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ 2 \end{array}\right]= \left[\begin{array}{c} 3 \\ 4 \\ -5 \end{array}\right]\]$

   b)

   $\[|\mathbf{v}_{1}|^{2}=1^{2}+2^{2}+(-1)^{2}=6\qquad\Rightarrow\qquad |\mathbf{v}_{1}|=\sqrt{6}\]$

   $\[|\mathbf{v}_{2}|^{2}=0^{2}+1^{2}+1^{2}=2\qquad\Rightarrow\qquad |\mathbf{v}_{2}|=\sqrt{2}\]$

   c) Bármely két vektor esetén

   $\[\mathbf{v}_{1}\cdot\mathbf{v}_{2}=|\mathbf{v}_{1}||\mathbf{v}_{2}|\cos\alpha\,,\]$

   ahol $\setbox0\hbox{$\cdot$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a vektorok skaláris szorzását jelöli és $\setbox0\hbox{$\alpha$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a két vektor által bezárt szög. Ebben a feladatban

   $\[\mathbf{v}_{1}\cdot\mathbf{v}_{2}=1\cdot 0+ 2\cdot 1+ -1\cdot 1=1\,,\]$

   tehát

   $\[1=\sqrt{6}\sqrt{2}\cos\alpha\qquad\Rightarrow\qquad \alpha=73,2\,^{\circ}\]$

   d) A $\setbox0\hbox{$\mathbf{v}_{2}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ vektor irányába mutató egység vektor

   $\[\mathbf{n}_{2}=\frac{\mathbf{v}_{2}}{|\mathbf{v}_{2}|}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right]\,.\]$

   Ezzel az egységvektorral a $\setbox0\hbox{$\mathbf{v}_{1}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ vektor $\setbox0\hbox{$\mathbf{n}_{2}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ irányába mutató komponense

   $\[\mathbf{v}_{12}=\mathbf{n}_{2}(\mathbf{n}_{2}\cdot\mathbf{v}_{1})=\frac{1}{2}\left[\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right]\,.\]$