Erőtan II. - 2.1.21

Feladat

1. Egy testre a nehézségi erőn kívül a sebességgel arányos fékező erő hat. ($\setbox0\hbox{$F_{s}=-\alpha v$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$)

   a) Írjuk le a test mozgását, ha $\setbox0\hbox{$h$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ magasságból kezdősebesség nélkül indult!

   b) Milyen lesz a test mozgása $\setbox0\hbox{$t\gg m/\alpha$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$t\ll m/\alpha$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ esetén?

   c) Hogyan változik időben a test teljes energiája?

Megoldás

1. a) A testre csak a függőlegesen lefelé irányított gravitációs és a függőlegesen felfelé irányított közegellenállási erők hatnak. A mozgásegyenlet tehát

   $\[ma=-mg-\alpha v\]$

   alakban írható. A gyorsulás a sebességnek az idő szerinti derivtáltja, így a mozgásegyenlet matematikai szempontból egy elsőrendű, lineáris differenciálegyenlet a sebességre vonatkozóan.

   $\[\dot{v}=-g-\frac{\alpha}{m}v\]$

   A differenciálegyenletet kell $\setbox0\hbox{$v(0)=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ kezdő feltétel mellett megoldani.

   $\[\dot{v}=-\frac{\alpha}{m}\left(v+\frac{gm}{\alpha}\right)\]$

   Legyen $\setbox0\hbox{$\tilde{v}(t)=v(t)+\frac{gm}{\alpha}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$! Ezzel

   $\[\dot{\tilde{v}}=-\frac{\alpha}{m}\tilde{v}\,,\]$

   melynek megoldása

   $\[\tilde{v}(t)=Ae^{-\frac{\alpha}{m}t}\]$

   tetszőleges $\setbox0\hbox{$A$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ konstanssal, melyet majd a kezdeti feltétel segítségével tudunk meghatározni.

   $\[v(t)=Ae^{-\frac{\alpha}{m}t}-\frac{gm}{\alpha}\]$

   A kezdeti feltétel $\setbox0\hbox{$v(0)=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. Ez csak úgy tud teljesülni, ha

   $\[A=\frac{gm}{\alpha}\,.\]$

   Így a test sebessége az idő függvényében

   $\[v(t)=\frac{gm}{\alpha}\left(e^{-\frac{\alpha}{m}t}-1\right)\,,\]$

   a test helyzete pedig az $\setbox0\hbox{$y(0)=h$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ kezdeti feltétellel

   $\[y(t)=y(0)+\int_{0}^{t}v(t')dt'=h-\frac{gm}{\alpha}t+\frac{gm^{2}}{\alpha^{2}}\left(1-e^{-\frac{\alpha}{m}t}\right)\,.\]$

   b) Ha $\setbox0\hbox{$t\gg \frac{m}{\alpha}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, akkor az exponenciálisok nagyon kicsivé válnak.

   $\[v\left(t\gg \frac{m}{\alpha}\right)=-\frac{gm}{\alpha}\]$

   $\[y\left(t\gg \frac{m}{\alpha}\right)=h-\frac{gm}{\alpha}t+\frac{gm^{2}}{\alpha^{2}}\]$

   Elegendően sokat várva tehát már egyenes vonalú egyenletes mozgást végez a test. Ha $\setbox0\hbox{$t\ll \frac{m}{\alpha}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, akkor az exponenciálisok argumentumában egy kis szám szerepel. Kihasználva azt a közelítést, miszerint kis $\setbox0\hbox{$x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-re $\setbox0\hbox{$e^{x}\approx 1+x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, megadhatunk egy közelítő formulát a sebességre.

   $\[v\left(t\gg \frac{m}{\alpha}\right)\approx \frac{gm}{\alpha}\left(1-\frac{\alpha}{m}t-1\right)= -gt\]$

   Az elmozdulás az ilyen rendű közelítésben csak $\setbox0\hbox{$y(t)=h$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ lenne. A közelítés következő rendjében $\setbox0\hbox{$e^{x}\approx 1+x+\frac{x^{2}}{2}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, amely szerint

   $\[y\left(t\gg \frac{m}{\alpha}\right)\approx h-\frac{gm}{\alpha}t+\frac{gm^{2}}{\alpha^{2}}\left(1+\frac{\alpha}{m}t-\frac{1}{2}\left(\frac{\alpha}{m}t\right)^{2}\right)=h-\frac{g}{2}t^{2}\,.\]$

   Kis időkre tehát úgy viselkedik a test, mintha nem is hatna rá közegellenállás. Ez érthető is, hiszen ebben az idő tartományban még nagyon kicsi a sebesség és így kicsi a vele arányos közegellenállási erő.

   c) A test teljes energiája

   $\[E(t)=mgy(t)+\frac{1}{2}mv(t)^{2}=mg\left[h-\frac{gm}{\alpha}t+\frac{gm^{2}}{\alpha^{2}}\left(1-e^{-\frac{\alpha}{m}t}\right)\right]+\frac{g^{2}m^{3}}{2\alpha^{2}}\left(e^{-\frac{\alpha}{m}t}-1\right)^{2}\]$

   szerint változik az időben.