Mechanika - Áramlás csőben

Feladat

1. (5.10.) Egy vékony cső keresztmetszete adott $\setbox0\hbox{$f(x)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ függvény szerint változik ($\setbox0\hbox{$x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a cső tengelye mentén mért távolság). Hogyan változik a cső mentén az áramló folyadék nyomása és sebessége?

Megoldás

Bernoulli-törvényét alkalmazzuk feltéve, hogy a cső vízszintes, tehát nincs magasságfüggő tagja a hidrosztatikai nyomásnak:

$\[\frac{\rho v^2(0)}2+p(0)=\frac{\rho v^2(x)}2+p(x)\]$

Összenyomhatatlan folyadékra nem csak a tömegáram, hanem a térfogatáram is állandó minden kereszmetszetben, azaz $\setbox0\hbox{$f(x)v(x)=\text{áll.}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. Ebből

$\[v(x)=\frac{f(0)v(0)}{f(x)}\]$

Ezt négyzetre emelve helyettesíthetünk be a Bernoulli-törvénybe, melyből

$\[p(x)=\frac{\rho v^2(0)}2+p(0)-\frac{\rho v^2(0)f^2(0)}{2f^2(x)}.\]$