Mechanika - Rugalmasság, folyadékok

Feladatok

1. (5.1.) Egy hajóról a $\setbox0\hbox{$\rho_v=1,03\,\rm g/\rm{cm}^3$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sűrűségű tengerbe lógatnak függőlegesen egy $\setbox0\hbox{$L=9\,\rm{km}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hosszú drótkötelet (keresztmetszete $\setbox0\hbox{$A=1\,\rm{cm}^2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, sűrűsége $\setbox0\hbox{$\rho=7,8\,\rm g/\rm{cm}^3$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, szakítószilárdsága $\setbox0\hbox{$\sigma_{sz}=2\cdot10^3\,\rm N/\rm{mm}^2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$). Elszakad-e a kötél?
   Útmutatás

   Írjuk fel a kötél mentén az adott magasságban lévő keresztmetszetet terhelő erőt. Vegyük figyelembe a felhajtóerőt is!
   Végeredmény

   A kötél nem szakad el
   Megoldás
   
   
2. (*5.2.) Egy erőmentes állapotban $\setbox0\hbox{$l_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hosszúságú, vékony fémhuzalt egyik végénél fogva függőleges helyzetben lelógatunk. A fém sűrűsége $\setbox0\hbox{$\rho$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, Young-modulusa $\setbox0\hbox{$E$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, egyenletes keresztmetszete pedig $\setbox0\hbox{$A$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$.

   a) Mennyivel változik meg a huzal hossza?

   b) Mennyi lesz a megnyúlás, ha a huzal alsó végére egy m tömegű testet akasztunk?

   Útmutatás

   A teljes hosszváltozást úgy kaphatjuk meg, hogy a huzal kis szakaszainak hosszváltozását összegezzük fel.

   Végeredmény

   $\[\Delta l=\frac{\rho l_0^2g}{2E}\]$

   $\[\Delta l_2=\Delta l+\frac{mg}{EA}l_0\]$

   Megoldás

   
   

3. (5.3.) Egy eredetileg $\setbox0\hbox{$L$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hosszúságú, $\setbox0\hbox{$A$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ keresztmetszetű, $\setbox0\hbox{$E$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ Young-modulusú huzalt a rugalmassági határon belül $\setbox0\hbox{$\sigma$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$? rugalmas feszültséggel terhelünk. Mennyi a huzalban tárolt rugalmas energia térfogati sűrűsége?
   Útmutatás

   Találjuk meg a rugóállandó és a Young-modulus közti kapcsolatot!
   Végeredmény

   $\[w_r=\frac{\sigma^2}{2E}\]$
   Megoldás
   
   
4. (*5.15.) Egy $\setbox0\hbox{$\rho$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sűrűségű, $\setbox0\hbox{$A$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ keresztmetszetű és $\setbox0\hbox{$l$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hosszúságú homogén merev rudat az ábra szerint két rugó közé teszünk. A rúd a rugók egyenesében rezeghet, például egy súrlódásmentes csőben, és egyensúlyi helyzetében mindkét rugó nyújtatlan. Bizonyítsuk be, hogy a mechanikai feszültség a rúd mentén egyenletesen változik és tetszőleges helyen nézve rezgést végez. Hol van mindenkor feszültségmentes keresztmetszet, és hol vannak szélsőértékek a feszültségben?
   
   Útmutatás

   Írjuk fel a Newton-féle mozgásegyenletet a rúd egy kis $\setbox0\hbox{$dx$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hosszúságú darabjára!
   Végeredmény

   Mivel a test merev, a gyorsulás független a helytől, ezért a mechanikai feszültség csak lineárisan változhat. A rúd végein a feszültség és a keresztmetszet szorzata egyenlő kell legyen az (időfüggő!) rugóerőkkel.
   Megoldás
   
   
5. (5.5.) Egy edényben lévő $\setbox0\hbox{$\rho_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sűrűségű folyadék fölé $\setbox0\hbox{$\rho_2<\rho_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sűrűségű folyadékot rétegeznek. A két folyadék határán egy $\setbox0\hbox{$V$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ térfogatú, $\setbox0\hbox{$\rho$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sűrűségű test lebeg. A test térfogatának mekkora része merül a nagyobb sűrűségű folyadékba?
   Végeredmény

   $\[V_1=\frac{\rho-\rho_2}{\rho_1-\rho_2}V\]$
   Megoldás
   
   
6. (5.6.) Vékony, egyenletes $\setbox0\hbox{$A$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ keresztmetszetű, $\setbox0\hbox{$L$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hosszúságú fa rudat egyik végénél minden irányban elforgatható módon felfüggesztünk, másik végét pedig vízbe merítjük az ábra szerint. Mennyi a rúd vízből kiálló részének $\setbox0\hbox{$x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hossza, ha a rúd sűrűsége $\setbox0\hbox{$\rho= 0,75\rho_v$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$?
   
   Végeredmény

   $\[x=\frac L2\]$
   Megoldás
   
   
7. (*5.7.) Mekkora vízszintes irányú erőt fejt ki a $\setbox0\hbox{$\rho_v$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sűrűségű folyadék egy medence függőleges, sík falára, ha a vízmagasság $\setbox0\hbox{$h$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, a fal hosszúsága pedig $\setbox0\hbox{$L$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$? Milyen magasságban van az eredő erő támadáspontja?
   Útmutatás

   Számoljuk ki az eredő erőt és forgatónyomatékot mélységtől függő nagyságú elemek integráljaként!
   Végeredmény

   $\[F_e=\rho_vgL\frac{h^2}2\]$

   $\[\frac h3\]$
   Megoldás
   
   
8. (5.8.) Egy vízzel töltött, mindkét végén lezárt vízszintes üvegcsőben egy fagolyó van. A golyó térfogata $\setbox0\hbox{$V$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, sűrűsége pedig $\setbox0\hbox{$\rho$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. Az üvegcső vízszintes irányban egyenletes sebességgel mozog.

   a) Merre mozdul el a golyó, ha az üvegcsövet lefékezzük?

   b) Mekkora a golyóra a gyorsulás kezdetén ható vízszintes erő, ha a gyorsulás nagysága $\setbox0\hbox{$a$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$?

   Végeredmény

   A golyó a kezdeti sebesség irányával ellentétesen mozdul el a fékezésnél, tehát "hátra".

   $\[F=(\rho_v-\rho)Va\]$

   Megoldás

   
   

9. (5.9.) Egy $\setbox0\hbox{$R$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sugarú, függőleges helyzetű henger a benne lévő folyadékkal együtt függőleges tengely körül $\setbox0\hbox{$\omega$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ szögsebességgel forog. Milyen alakot vesz fel a folyadék felszíne? (A kanadai Large Zenith Telescope higannyal töltött kör alakú medencéje 8,5 fordulat/perc sebességgel forog. Mekkora az így képzett tükör fókusztávolsága?)
   Útmutatás

   Vizsgáljuk a folyadékot forgó vonatkoztatási rendszerben. A gravitációs és tehetetlenségi erő eredője sugárfüggő a forgástengelytől mérve.
   Végeredmény

   Forgási paraboloid.
   Megoldás
   
   
10. (5.11.) A homokóra mintájára "folyadékórát" készítünk. A folyadékóra tartályának alján kicsi, $\setbox0\hbox{$A$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ keresztmetszetű lyukon folyik ki a folyadék. Milyen alakú forgástestté kell kiképezni az edényt, ha azt akarjuk, hogy a folyadék felszíne állandó $\setbox0\hbox{$v_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sebességgel süllyedjen?
    Végeredmény

    $\[h(r)=\frac{v_0^2}{2g}\left(\frac{\pi^2r^4}{A^2}-1\right)\]$
    Megoldás
    
    
11. (5.12.) Egy magas, nagy $\setbox0\hbox{$A$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ keresztmetszetű, vízzel teli edény oldalán, az aljához közel, kis $\setbox0\hbox{$A_l$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ felületű lyukon folyik ki a víz. Az edény keresztmetszete sokkal nagyobb a lyukénál, a víz magassága a lyuk fölött $\setbox0\hbox{$h$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. Milyen sebességgel hagyja el a víz a lyukat, ha a folyadék súrlódásmentesen mozog?
    Végeredmény

    $\[v\approx\sqrt{2gh}\]$
    Megoldás
    
    
12. (5.13.) Vízszintes helyzetű, párhuzamos síklemezek között $\setbox0\hbox{$d$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ vastagságú folyadékréteg van. A felső lemezt $\setbox0\hbox{$v_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ állandó sebességgel mozgatjuk, az alsó lemez nyugalomban van. Mekkora a mozgó lemeztől $\setbox0\hbox{$x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ távolságban a folyadék sebessége?
    Végeredmény

    $\[v(x)=v_0\left(1-\frac xd\right)\]$
    Megoldás
    
    
13. (**5.14.) Legalább mekkora (m, V, vagy R) félgömb alakú "jégtábla" képes stabilan megtartani egy 300 kg-os jegesmedvét, ha az a tábla körlapjának közepén áll? Legalább mekkora kell legyen a jégtábla, ha a medve szeretne kisétálni a szélére anélkül, hogy víz érné?Legalább mekkora kell legyen a tapadási súrlódási együttható, hogy még ekkor se csússzon meg a tábla felszínén? ($\setbox0\hbox{$\rho_{\text{jég}}=0,9\rho_{\text{víz}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$)
    
    Útmutatás

    Használjuk ki, hogy a vízbe merülő gömbsüvegrész tömegközéppontja hogyan viselkedik a tábla elfordulásakor.
    Végeredmény

    $\setbox0\hbox{$R=1,127\,\rm m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, $\setbox0\hbox{$m_{\text{jég}}= 2700\,\rm{kg}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, a második esetben $\setbox0\hbox{$R=1,981\,\rm m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, $\setbox0\hbox{$V_{\text{jég}}=16,28\,\rm{m^3}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, $\setbox0\hbox{$V_{\rm{be}}=14,938\,\rm{m^3}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, valamint $\setbox0\hbox{$m_{\text{jég}}=14652\,\rm{kg}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$
    Megoldás