Deriválás - Hiperbolikus függvények

Feladat

1. * A hiperbolikus függvényeket a következőképpen definiáljuk.
   $\[\mbox{ch}\,x=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}\qquad\qquad \mbox{sh}\,x= \frac{e^{x}-e^{-x}}{2}\]$
   $\[ \mbox{th}\,x=\frac{\mbox{sh}\, x}{\mbox{ch}\, x}\qquad\qquad \mbox{cth}\,x=\frac{\mbox{ch}\,x}{\mbox{sh}\,x}\]$

   a) Igazoljuk, hogy $\setbox0\hbox{$\mbox{ch}^{2}\,x-\mbox{sh}^{2}\,x=1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$!

   b) Számoljuk ki a hiperbolikus függvények deriváltjait!

   c) Határozzuk meg a $\setbox0\hbox{$\mbox{ch}\, x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ függvény inverzét és annak deriváltját.

Megoldás

1. a) A hiperbolikus függvények definícióját behelyettesítve az állítás könnyedén igazolható.

   b)

   $\[\frac{d}{dx}\mbox{ch}\,x=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}=\mbox{sh}\,x\qquad\qquad \frac{d}{dx}\mbox{sh}\,x=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}=\mbox{ch}\,x\]$

   $\[\frac{d}{dx}\mbox{th}\,x=\frac{1}{\mbox{ch}^{2}\,x}\qquad\qquad \frac{d}{dx}\mbox{cth}\,x=-\frac{1}{\mbox{sh}^{2}\,x}\]$

   c) A $\setbox0\hbox{$\mbox{ch}\, x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ függvény inverzét $\setbox0\hbox{$\mbox{arch}\, x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-val jelöljük.

   $\[\mbox{arch}\,x=y(x)\]$

   $\[x=\mbox{ch}\, y\]$

   $\[x=\frac{e^{y}+e^{-y}}{2}\]$

   $\[e^{2y}-2xe^{y}+1=0\]$

   $\[e^{y}=x\pm \sqrt{x^{2}-1}\]$

   A két megoldás közül az egyik $\setbox0\hbox{$y$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-nak, a másik pedig $\setbox0\hbox{$-y$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-nak felel meg. Konvencionálisan a $\setbox0\hbox{$+$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ előjelet tekintjük az $\setbox0\hbox{$\mbox{arch}\,x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ függvényben.

   $\[e^{y}=x+ \sqrt{x^{2}-1}\]$

   $\[y=\ln\left(x+ \sqrt{x^{2}-1}\right)\]$

   $\[\mbox{arch}\,x=\ln\left(x+ \sqrt{x^{2}-1}\right)\]$

   A deriváltja

   $\[\frac{d}{dx}\mbox{arch}\,x=\frac{1}{\mbox{sh}(\mbox{arch}\,x)}=\frac{1}{\sqrt{x^{2}-1}}\,.\]$