Mechanika - Fémhuzal önsúllyal

Feladat

1. (*5.2.) Egy erőmentes állapotban $\setbox0\hbox{$l_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hosszúságú, vékony fémhuzalt egyik végénél fogva függőleges helyzetben lelógatunk. A fém sűrűsége $\setbox0\hbox{$\rho$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, Young-modulusa $\setbox0\hbox{$E$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, egyenletes keresztmetszete pedig $\setbox0\hbox{$A$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$.

   a) Mennyivel változik meg a huzal hossza?

   b) Mennyi lesz a megnyúlás, ha a huzal alsó végére egy m tömegű testet akasztunk?

Megoldás

A huzal hosszváltozását az önsúlya idézi elő lelógatott állapotában. Feltesszük, hogy a $\setbox0\hbox{$g$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ nehézségi gyorulás a huzal mentén állandó. A teljes hosszváltozást úgy kaphatjuk meg, hogy a huzal kis szakaszainak hosszváltozását összegezzük fel. A kis szakaszok (relatív) megnyúlása a huzal mentén változik a szintén változó feszültségi állapot miatt. A huzal aljától $\setbox0\hbox{$x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ távolságra található $\setbox0\hbox{$\text{d}x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hosszúságú szakasz feszültsége $\setbox0\hbox{$\sigma(x)=\rho x g,$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ amely a Hooke-törvény szerint $\setbox0\hbox{$E\frac{\Delta(\text{d}x}{\text{d}x}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-vel is egyenlő, ahol a számláló a kis szakasz megnyúlása. Ezt kifejezve $\setbox0\hbox{$\Delta(\text{d}x)=\frac{\rho x g}E \text{d}x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, mely a huzal teljes (eredeti) hosszára integrálva adja a teljes megnyúlást:

$\[\Delta l=\int_0^{l_0}\Delta(\text{d}x)=\int_0^{l_0}\frac{\rho x g}E\text{d}x=\frac{\rho l_0^2g}{2E}\]$

Ha további $\setbox0\hbox{$m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tömeget akasztunk a huzal végére, a feszültség kifejezésében egy plusz $\setbox0\hbox{$\frac{mg}A$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tag jelenik meg, így végül a teljes megnyúlás

$\[\Delta l_2=\Delta l+\frac{mg}{EA}l_0\]$