Mechanika - Rezgő merev rúd feszültségállapota

Feladat

1. (*5.15.) Egy $\setbox0\hbox{$\rho$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sűrűségű, $\setbox0\hbox{$A$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ keresztmetszetű és $\setbox0\hbox{$l$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hosszúságú homogén merev rudat az ábra szerint két rugó közé teszünk. A rúd a rugók egyenesében rezeghet, például egy súrlódásmentes csőben, és egyensúlyi helyzetében mindkét rugó nyújtatlan. Bizonyítsuk be, hogy a mechanikai feszültség a rúd mentén egyenletesen változik és tetszőleges helyen nézve rezgést végez. Hol van mindenkor feszültségmentes keresztmetszet, és hol vannak szélsőértékek a feszültségben?
   

Megoldás

A rúd egy tetszőleges kis $\setbox0\hbox{$dx$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hosszúságú darabjának mozgásegyenlete

$\[a(x,t)dm=a(x,t)\rho Adx=\sigma(x+dx,t)A-\sigma(x,t)A=d\sigma A=F(x+dx,t)+F(x,t),\]$

ahol a két erő azonos előjelű feszültségek esetén ellentétes előjelű, mivel a darabka két oldalán hatnak. (Habár a modellünk merev test, ezek az erők a valóságban rugalmas eredetűek.) Ebből $\setbox0\hbox{$A$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-val egyszerűsítve és $\setbox0\hbox{$dx$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-el "átosztva" a

$\[\rho a(x,t)=\frac{d\sigma(x,t)}{dx}\]$

egyenletet kapjuk. Mivel a rúd merev, a gyorsulása helyfüggetlen, így $\setbox0\hbox{$a(x,t)=a(t)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, a deformáció mindenhol nulla (a Young modulus ebben a közelítésben végtelen, ahogy a rugalmas hullám terjedési sebessége is), a mechanikai feszültség viszont véges, és ugyanolyan jelleggel rezeg időben, ahogy a rúd kitérése és a vele arányos gyorsulása is. Továbbá a hely függvényében a feszültség csak lineáris lehet a gyorsulás hely szerint állandósága miatt. A $\setbox0\hbox{$\sigma(x,t)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ függvény $\setbox0\hbox{$x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ változó szerinti meredeksége időben folyamatosan változik, rezeg. Ha a rudat $\setbox0\hbox{$\Delta x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ mértékben kimozdítjuk az egyensúlyi helyzetéből, az egyik rugó összenyomódik, a másik megnyúlik, így a rúd egyik vége nyomott, a másik húzott állapotban lesz, azaz a mechanika feszültség a rúd végein ellentétes előjelű, és az erősebb rugónál abszolút értékben nagyobb. Valahol a rúd mentén tehát a feszültség szükségképpen nulla, és ez nem feltétlenül a rúd közepén van, hanem a rúd hosszát a rugóállandók arányában kell felosztani. Ezen a helyen a feszültség viszont minden időpontban nulla! A feszültség a szélső értékeit végeredményben a rúd végein veszi fel.