Deriválás - Szélsőértékek

Feladat

1. Tekintsük az alábbi, valós számokon értelmezett függvényt:

   $\[f(x) = 2 x^3 - 3 x^2 - 36 x + 12\]$

   Hol vannak a függvény lokalás szélsőértékei, és azok milyenek?

Megoldás

1. Határozzuk meg a függvény első deriváltját!

   $\[f'(x) = 6 x^2 - 6 x - 36\]$

   Egy lokális szélsőértéknél ez nulla kell legyen. Megoldva a másodfokú egyenletet:

   $\[ x_{1,2} = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 4 \cdot 36 \cdot 6}}{12} = \lbrace-2,\; +3 \rbrace\]$

   Határozzuk meg a második deriváltat!

   $\[f''(x) = 12 x - 6\]$

   Ez az $\setbox0\hbox{$x = 3$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-nál $\setbox0\hbox{$f''(3) = 30$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, pozitív, azaz itt lokális minimuma van a függvénynek.

   Az $\setbox0\hbox{$x = -2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ pontban a második derivált értéke $\setbox0\hbox{$f''(-2) = -30$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, negatív, itt lokális maximuma van a függvénynek.