Erőtan II. - Forgó rotor még egyszer

Feladat

1. Oldjuk meg az Erőtan I. - 2.4.4 feladatot újból, de most a rotorral együttforgó koordinátarendszerben! Ha $\setbox0\hbox{$l \omega^2 > g$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, adjuk meg az inga rezgéseinek frekvenciáját, ha kicsit kitérítjük egyensúlyi helyzetéből. (Tegyük fel, hogy az ingát a rotorhoz egy merev rúd köti, ami a rotorral együtt forog.)

Megoldás

1. Ha az inga szögkitérése $\setbox0\hbox{$\varphi$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, úgy rá vízszintesen $\setbox0\hbox{$F_{cf} = m L \sin(\varphi) \omega^2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ centrifugális erő hat a forgó k.r. -ben. Ennek a tangenciális komponense $\setbox0\hbox{$m L \omega^2 \sin(\varphi) \cos(\varphi)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. A nehézségi erő tangenciális komponense $\setbox0\hbox{$- m g \sin(\varphi)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. Az egyensúly feltétele tangenciális irányban:

   $\[ m L \omega^2 \sin(\varphi) \cos(\varphi) - m g \sin(\varphi) = 0 \; .\]$

   Ennek az egyenletnek triviális megoldása a $\setbox0\hbox{$\varphi = 0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. Ha azonban véges kitérése van, úgy

   $\[L \omega^2 \cos(\varphi) = g \; ,\]$

   amiből $\setbox0\hbox{$\cos(\varphi) = \frac{g}{L \omega^2}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. Ez csak akkor ad megoldást, ha a jobboldal kisebb 1-nél, azaz $\setbox0\hbox{$L \omega^2 > g$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$.

   Írjuk fel az inga mozgásegyenletét tetszőleges kitérés esetén. Ha a rotor nem engedi kicsavarodni az ingát, úgy a Coriolis erőt a rotor kompenzálja, ezért csak a centrifugális erővel kell számolni. A tangenciális mozgásegyenlet:

   $\[m L \ddot{\varphi} = m L \omega^2 \sin(\varphi) \cos(\varphi) - m g \sin(\varphi) \; , \]$

   azaz

   $\[\ddot{\varphi} = \omega^2 \sin(\varphi) \cos(\varphi) - \frac{g}{L} \sin(\varphi) \; .\]$

   Fejtsük lineáris rendig Taylor sorba ezt a kifejezést $\setbox0\hbox{$\varphi_0 = \arccos \left( \frac{ g}{L \omega^2} \right)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ körül. Mivel $\setbox0\hbox{$\varphi_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ épp az egyensúlyi helyzet, a konstans tag eltűnik. A jobboldal első deriváltja:

   $\[\omega^2 (\cos^2(\varphi) - \sin^2(\varphi)) - \frac{g}{L} \cos(\varphi) = \omega^2 (2 \cos^2(\varphi) - 1) - \frac{g}{L} \cos(\varphi)\; . \]$

   Behelyettesítve ebbe $\setbox0\hbox{$\varphi_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ értékét:

   $\[\omega^2 \left(2 \frac{g^2}{L^2 \omega^4} - 1 \right) - \frac{g^2}{L^2 \omega^2} = \frac{g^2}{L^2 \omega^2} - \omega^2 \; .\]$

   Ezzel a $\setbox0\hbox{$\varphi_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ körüli kis kitérések esetén:

   $\[\ddot{\varphi} \approx - \left( \omega^2 - \frac{g^2}{L^2 \omega^2} \right) (\varphi - \varphi_0) \; .\]$

   A rezgések körfrekvenciája innen leolvasva:

   $\[\Omega = \sqrt{ \omega^2 - \frac{g^2}{L^2 \omega^2}} \; . \]$