Mechanika - Tengerbe lógatott drótkötél

Feladat

1. (5.1.) Egy hajóról a $\setbox0\hbox{$\rho_v=1,03\,\rm g/\rm{cm}^3$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sűrűségű tengerbe lógatnak függőlegesen egy $\setbox0\hbox{$L=9\,\rm{km}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hosszú drótkötelet (keresztmetszete $\setbox0\hbox{$A=1\,\rm{cm}^2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, sűrűsége $\setbox0\hbox{$\rho=7,8\,\rm g/\rm{cm}^3$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, szakítószilárdsága $\setbox0\hbox{$\sigma_{sz}=2\cdot10^3\,\rm N/\rm{mm}^2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$). Elszakad-e a kötél?

Megoldás

A kötél aljától $\setbox0\hbox{$x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ távolságra felfelé lévő pontban $\setbox0\hbox{$x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hosszúságú kötéldarab súlya feszíti a kötelet. Mivel a felhajtó erő is térfogati erő, hasonlóan oszlik el a kötél mentén, így az eredő feszítő erő $\setbox0\hbox{$x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ függvényében

$\[F(x)=\rho Axg-\rho_v Axg,\]$

amely $\setbox0\hbox{$x=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-nál nulla.

$\[F(L)=(\rho-\rho_v)ALg,\]$

és ott a feszültség

$\[\sigma(L)=(\rho-\rho_v)Lg=0,6\cdot10^9\,\frac{\rm N}{\rm m^2},\]$

amely kisebb a szakítószilárdságnál, tehát a kötél nem szakad el.