Mechanika - Medencefal terhelése

Feladat

1. (5.7.) Mekkora vízszintes irányú erőt fejt ki a $\setbox0\hbox{$\rho_v$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sűrűségű folyadék egy medence függőleges, sík falára, ha a vízmagasság $\setbox0\hbox{$h$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, a fal hosszúsága pedig $\setbox0\hbox{$L$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$? Milyen magasságban van az eredő erő támadáspontja?

Megoldás

Az eredő erőt a mélységtől függő hidrosztatiksai nyomás által a felületelemekre kifejtett erőelemek integrálásával kaphatjuk meg. Ugyanígy kapható egy eredő forgatónyomaték nyomatékelemek integrálásával, az eredő erő támadáspontját pedig abból kaphatjuk meg, hogy oda helyezve ezzel megegyező nyomatékot kell adnia. A hidrosztatikai nyomás függése a mélységtől $\setbox0\hbox{$p(h)=\rho_vgh$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, egy felületelem mérete $\setbox0\hbox{$dA=\rm d L\cdot \rm d h$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, így egy $\setbox0\hbox{$h$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ mélységben található darabkára ható erőelem $\setbox0\hbox{$\text{d}F(h)=\rho_vgh\text{d}h\text{d}L$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, ebből az eredő erő

$\[F_e=\int_0^L\int_0^h\rho_vg\tilde h\text{d}\tilde h\text{d}L=\rho_vgL\frac{h^2}2\]$

Az eredő nyomaték

$\[M_e=\int_0^L\int_0^h\text{d}M(h)=\int_0^L\int_0^h\text{d}F(h)h=\int_0^L\int_0^h\rho_vg\tilde h^2\text{d}\tilde h\text{d}L=\rho_vgL\frac{h^3}3=F_ed,\]$

ahol $\setbox0\hbox{$d$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a keresett támadáspont. Behelyettesítve az eredő erőt egyszerűsítés után kapjuk: $\setbox0\hbox{$\frac d2=\frac h3$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, melyből $\setbox0\hbox{$d=\frac23h$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a támadáspont mélysége a vízszinttől (amely magasságtól számítva írtuk fel a nyomatékokat), ez a medence aljától

$\[\frac h3\]$

magasságot jelent.