Erőtan II. - 6.8

Feladat

1. Határozzuk meg a vízszintes síkon mozgó $\setbox0\hbox{$m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tömegű test rezgéseinek frekvenciáját, ha az a 6.8. ábrán látható módon két, elhanyagolható tömegű rugóhoz van kapcsolva (rugóállandók: $\setbox0\hbox{$k_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$k_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ )!

Megoldás

1. A testet egyensúlyi helyzetéből $\setbox0\hbox{$x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ távolságra kimozdítva ($\setbox0\hbox{$x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ pozitív, ha jobbra mozdítottuk ki) a mozgásegyenlete

   $\[ma=F_{2}-F_{1}=k_{2}(\Delta l_{02}-x)-k_{1}(\Delta l_{01}+x)\]$

   alakban írható, ahol $\setbox0\hbox{$\Delta l_{01}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$\Delta l_{02}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ rugók kezdeti megnyúlása, melyekre azonban teljesül $\setbox0\hbox{$k_{1}\Delta l_{01}=k_{2}\Delta l_{02}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, így a mozgásegyenlet

   $\[m\ddot{x}=-x(k_{1}+k_{2})\,.\]$

   A rezgések frekvenciája tehát

   $\[\omega=\sqrt{\frac{k_{1}+k_{2}}{m}}\,.\]$