Erőtan II. - 4.13

Feladat

1. ÁBRA Egy liftben $\setbox0\hbox{$D$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ direkciós erejű rugóra erősítve egy $\setbox0\hbox{$m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tömegű testet függesztünk fel. A test a $\setbox0\hbox{$t<0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ időpontokban nyugalomban van. A lift a $\setbox0\hbox{$t=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ időpontban $\setbox0\hbox{$a_{0}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ gyorsulással emelkedni kezd. (4.13. ábra) $\setbox0\hbox{$D=5 \,\mathrm{\frac{N}{m}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, $\setbox0\hbox{$m=0,2 \,\mathrm{kg}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, $\setbox0\hbox{$a_{0}=2 \,\mathrm{\frac{m}{s^2}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$.

   a) Milyennek észleli a test mozgását a liftbeli megfigyelő?

   b) Külön ábrán jelölje be az m tömegű testre - a gyorsuló lift koordinátarendszerében - ható erőket, és írja fel a test mozgásegyenletét az ábrán bejelölt (lifthez rögzített) koordinátarendszerben!

   c) Határozza meg a test mozgását jellemző $\setbox0\hbox{$y(t)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ függvényt, ha a test az ábra szerinti $\setbox0\hbox{$y=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ koordinátájú pontban történő elhelyezkedése a $\setbox0\hbox{$t<0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ időpontokban fennálló egyensúlyi állapotra érvényes! (Az $\setbox0\hbox{$y(t)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ függvény jellemző mennyiségeit számszerűen adja meg!)

Megoldás

1. a) A gyorsulás hatására a lifthez rögzített vonatkoztatási rendszerben a testre hat egy függőleges irányú és $\setbox0\hbox{$F_{t}=ma_{0}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ nagyságú tehetetlenségi erő. Ennek hatására a test a rugón rezegni kezd.

   b) A mozgásegyenlet a lift koordináta-rendszerében

   $\[m\ddot{y}=D\Delta l-mg-F_{t}\,,\]$

   ahol a rugó megnyúlása $\setbox0\hbox{$\Delta l=\Delta l_{0}-y$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ szerint függ össze a test helyzetével. Az egyensúlyi helyzetben ($\setbox0\hbox{$t<0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$) a megnyúlás $\setbox0\hbox{$\Delta l_{0}=\frac{mg}{D}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ volt. Így a mozgásegyenlet

   $\[m\ddot{y}=-Dy-ma_{0}\,.\]$

   c)

A mozgásegyenlet egy differenciál egyenlet, melyet az $\setbox0\hbox{$y(0)=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$\dot{y}(0)=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ kezdeti feltételek mellett kell megoldani.

$\[\ddot{y}+\omega^{2}(y-y_{0})=0\qquad \omega=\sqrt{\frac{D}{m}}=5\frac{1}{\,\mathrm{s}}\qquad y_{0}=-\frac{ma_{0}}{D}=-0,08\,\mathrm{m}\]$

A $\setbox0\hbox{$\Delta y=y-y_{0}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-ra vonatkozó $\setbox0\hbox{$\Delta\ddot{y}+\omega^{2}\Delta y=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ differenciálegyenlet két független megoldása $\setbox0\hbox{$\sin(\omega t)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$\cos(\omega t)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, így

$\[y(t)=y_{0}+A\sin(\omega t)+B\cos(\omega t)\,,\]$

ahol az $\setbox0\hbox{$A$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$B$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ paramétereket a kezdeti feltételek segítségével kell maghatározni.

$\[0=y(0)=y_{0}+B\qquad\Rightarrow\qquad B=-y_{0}\]$

$\[0=\dot{y}(0)=A\omega\qquad\Rightarrow \qquad A=0\]$

Így

$\[y(t)=y_{0}(1-\cos(\omega t))\,.\]$