„Deriválás - Egyváltozós vektorfüggvény” változatai közötti eltérés

A Fizipedia wikiből
(Új oldal, tartalma: „<noinclude> Kategória:Kísérleti fizika gyakorlat 1. Kategória:Szerkesztő: Bácsi Ádám {{Kísérleti fizika gyakorlat | tárgynév = Kísérleti fizika…”)

A lap 2014. szeptember 9., 14:21-kori változata

Navigáció Pt·1·2·3
Kísérleti fizika gyakorlat 1.
Gyakorlatok listája:
  1. Deriválás
  2. Integrálás
  3. Mozgástan
  4. Erőtan I.
  5. Erőtan II.
  6. Munka, energia
  7. Pontrendszerek
  8. Merev testek I.
  9. Merev testek II.
  10. Rugalmasság, folyadékok
  11. Rezgések I.
  12. Rezgések II.
  13. Hullámok
Deriválás
Feladatok listája:
  1. Alapműveletek vektorokkal
  2. Vektorok felbontása
  3. Egyszerű deriváltak
  4. Inverz függvény deriváltja
  5. Hiperbolikus függvények
  6. Szélsőértékek
  7. Egyvátozós vektorfüggvény
© 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064

Feladat

  1. ekintsük az alábbi, valós számokról a 3 dimenziós vektorok terébe képező függvényt!
    \[ \vec{v}(s) = \left( \begin{array}{c} \sin s \\ 2 \cos s \\ 3 s \end{array} \right) \]
    a) Határozzuk meg ennek a \setbox0\hbox{$\vec{v}'(s) = \frac{d \vec{v}}{d s}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% deriváltját!
    b) Mekkora szöget zárnak be az \setbox0\hbox{$s = 1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% helyen a \setbox0\hbox{$\vec{v}(s)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% és \setbox0\hbox{$\vec{v}'(s)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% vektorok?

Megoldás

  1. a) Vektorokat komponensenként deriválhatunk, így:
    \[ \vec{v}'(s) = \left( \begin{array}{c} \cos s \\ - 2 \sin s \\ 3 \end{array} \right) \]
    b) A vektorok által bezárt szög koszinusza:
    \[ \cos(\varphi) = \frac{\vec{v}(s) \cdot \vec{v}'(s)}{| \vec{v}(s)| \, |\vec{v}'(s)|}\]
    Behelyettesítve az \setbox0\hbox{$s = 1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% értéket:
    \[ \vec{v}(s) = \left( \begin{array}{c} 0.841 \\ 1.081 \\ 3.0 \end{array} \right) \; , \quad \vec{v}'(s) = \left( \begin{array}{c} 0.540 \\ -1.683 \\ 3.0 \end{array} \right) \]
    \[ \cos(\varphi) = \frac{0.841 \cdot 0.540 - 1.081 \cdot 1.683 + 3.0 \cdot 3.0}{\sqrt{0.841^2 + 1.081^2 + 3.0^2} \, \sqrt{0.540^2 + 1.683^2 + 3.0^2}} = 0.665 \]
    Ebből \setbox0\hbox{$ \varphi = 0.843$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%
A lap eredeti címe: „https://fizipedia.bme.hu/index.php?title=Deriválás_-_Egyváltozós_vektorfüggvény&oldid=14901”